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方差分析专题培训课件

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方差分析 第一节 方差分析的基本原理 1.1 概念 方差分析(Analysis of Variance,简称 ANOVA),又称“变异数分析”或“F 检验”,是R.A.Fisher发明的,用于两 个及两个以上样本均数差别的显著性检 验。 例如: 医学界研究几种药物对某种疾病的疗效; 农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某 种农作物产量的影响; 不同饲料对牲畜体重增长的效果等, 都可以使用方差分析方法去解决。 方差或叫均方,是标准差的*方,是 表示变异的量。在一个多处理试验中, 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的,有的是处 理不同引起的,叫处理效应或条件变异, 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致,称为实验误差。 方差分析的基本思想是将测量数据的 总变异按照变异原因不同分解为处理效 应和实验误差,并作出其数量估计。 (方差分析方法就是从总离差*方和分 解出可追溯到指定来源的部分离差*方 和)。 1.2 方差分析的适用条件 ? 各处理组样本来自正态总体; ? 各样本是相互独立的随机样本; ? 各处理组的总体方差相等,即方差齐性。 1.3 数学模型 假定有k组观测数据,每组有n个观测值, 则用线性可加模型来描述每一观测值,有: xij ????i ??ij x i j是在第i次处理下的第j次观测值,? 为总体 *均数,? i 为处理效应,? i j 是试验误差,要求 是相互独立的,且服从正态分布 N (0,? 2 ) 对于由样本估计的线性模型为: xi j ?x?ti ?ei j x 为样本*均数,t i 为样本的处理效应,e i j 为 试验误差。 1.4 *方和和自由度的分解 ? 总体方差:? 2 ? (x ? ?)2 N ? 样本方差:s2 ? (x ? x)2 n ?1 因此,要把一个试验的总变异依据变异来 源分为相应的变异,首先要将总*方和和总 自由度分解为各个变异来源的相应部分。 1.4.1 *方和的分解 总*方和=处理间*方和+处理内*方和 SST?SSt ?SSe k ? ? ??? S S T? 1 n(x ? x )2?x 2? ( x )2?x 2? T 2 1 k n k n ? 令 C ? T 2 , kn SST? x2?C ? SSt = Ti2 ?C n SSe ?SST?SSt 1.4.2 自由度的分解 总自由度也可分解为处理间自由度和处理内 自由度,即: 总自由度=处理间自由度+处理内自由度 dfT ?dft ?df dfT ?nk?1 dft ?k?1 dfe?dfT?dft ?(nk?1)?(k?1)?k(n?1) 根据各变异部分的*方和和自由度,可得处 理间方差 s t 2 和处理内方差 s e 2 st2 ? SSt d ft se2 ? SSe dfe 例1.对四个污水处理厂污水中的氨氮含量进行测 定,测定结果列于下表,试进行方差分析。 表1. 氨氮含量(ppm) 本例中,品种数k=4,重复数n=4,观测数据总 数nk=4*4=16. (1)*方和计算: 矫正数 C T2 434.42 C? ? ?11793.96 kn 16 ? SST ? x2 ?C=31.92 ?242 ?...?24.62 ?C?213.3 ? SSt = Ti2 123.62 ?C? ?103.22 ?96.22 ?111.42 ?C?103.94 n 4 SSe ?SST ?SSt ?213.30?103.94?109.36 (2)自由度的计算: 总自由度 d fT?n k? 1?1 6? 1?1 5 处理间自由度 dft ?k?1?4?1?3 处理内自由度 d f e ? d f T ? d f t? k ( n ? 1 ) ? 4 * ( 4 ? 1 ) ? 1 2 (3)方差计算: 处理间方差 st2 ?SSt dft ?103.94?34.65 3 处理内方差 se2 ?SSe dfe ?109.36?9.11 12 1.5 统计假设的显著性检验——F检验 处理内方差可以作为误差方差的估计量, 处理间方差作为不同处理工艺差异的估计量。 已知从一个总体随机抽取两个样本,其样 本方差 的比值为F,即 s12和 s22 F ? s12 s22 一般将大方差作分子,小方差作分母,使 F值大于1,进行不同处理差异显著性的F检 验时,一般是把处理间方差作为分子,称为 大方差,误差方差作分母,称为小方差。 处理间方差 F ? 误差方差 无效假设把各个处理的变量假设来自同一 总体,即处理间方差不存在处理效应,只 有误差的影响,因而处理间的样本方差 ? 2 t 与误差的样本方差 ? 2 e 相等,即 H0:? 2 t ? ? 2 e 无效假设是否成立,决定了计算的F值在F 分布中出现的概率,例1中的F值为: F? st2 ?34.65?3.8 se2 9.11 根据确定的显著标准 ? 从F值表中查出在 d f t 和 d f e 下的 F ? 值。如果所计算的F< F 0 .0 5 ,P>0.05, 则接受H0,说明处理间差异不显著,若F≥ F 0 .0 5 P≤0.05,应否定H0,接受 ? 2 t ? e2,说明处理 间差异是显著的,并在计算的F值的右上角 标上“*”号。 表2. F值、P值与统*崧 例1中查F值表 F0.05 ?3.49,F> F 0 .0 5, 应否定H0, 说明不同处理间污水氨氮含量差异是显著的。 将方差分析结果列成方差分析表。 1.6 多重比较 用F检验如果否定了H0.接受HA,仅说 明k个*均数间有显著差异,但不能说明 哪些*均数间有显著差异。 例如4个不同污水处理工艺对污水氨氮 含量有显著差异,但不是所



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