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(精品人教)2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五 文

发布时间:

※精 品 试 卷※
(衡水金卷)2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五 文

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

? ? 1.设全集U ? R ,集合 A ?

x x ?1? 0

,B

?

??x ?

x ?1 x ?1

? 0?? ,则图中阴影部分所表示人集合为 ?

A.?x x ? ?1?

B.?x x ? ?1?

C.?x ?1? x ? ?1?

D.﹛ x x ? ?1或 x ?1﹜

2.已知复数 z1 ? 2 ? 3i , z2 ? a ? i ( a ? R , i 为虚数单位),若 z1z2 ? 1? 8i ,则 a 的值为

A. 1 2

B.1

C. 2

D. 4

3.已知函数 f ? x? 的图象关于原点对称,且在区间??5, ?2? 上单调递减,最小值为 5 ,则 f ? x? 在区间?2,5? 上

A.单调递增,最大值为 5 C.单调递减,最大值为 ?5

B.单调递减,最小值为 ?5 D.单调递减,最小值为 5

4.已知直线 2x ? 3 ?1与 x , y 轴的正半轴分别交于点 A , B ,与直线 x ? y ? 0 交于点 C ,若 OC ? ?OA ? ?OB

( O 为坐标原点),则 ? , ? 的值分别为

A. ? ? 2 , ? ? ?1

B. ? ? 4 , ? ? ?3

C. ? ? ?2 , ? ? 3

D. ? ? ?1 , ? ? 2

1

5.已知 a

?

log 1
2

2 3

,b

?

log2

2,c 3

?

? ??

3 2

?2 ??

,d

?

3
e2

,则

A. d ? c ? a ? b

B. d ? b ? c ? a

C. c ? d ? a ? b

D. a ? c ? b ? d

? ? 6.已知 a ? 0 , b ? 0 ,则点 P 1,

2

在直线

y

?

b a

x

的右下方是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1的离心率 e 的取值范围为

? ? 3, ?? 的

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

7.已知? 、 ? 是两个不同的*面,给出下列四个条件:①存在一条直线 a , a ? ? , a ? ? ;②存在一个*面 ? ,

? ? ? , ? ? ? ;③存在两条*行直线 a 、 b , a ? ? , b ? ? , a / /? , b / /? ;④存在两条异面直线 a 、 b ,

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a ? ? , b ? ? , a / /? , b / /? ,则可以推出? / /? 的是

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A.①③

B.②④

C. ①④

D.②③

? ? 8.已知直线

y

? 2 与函数

f

?x? ?

tan ??x ? ? ?????

? 0, ?

?

? 2

? ??

图象的相邻两个交点间的距离为

6

,点

P

1,

3



函数 f ? x? 的图像上,则函数 g ? x? ? log1 f ? x? 的单调递减区间为
2

A. ?6k? ??,2? ? 6k? ??k ?Z ?

B.

? ??

k?

?

? 6

,

? 3

?

k?

? ??

?k

?

Z

?

C.

? ??

k

?

1 6

,

1 3

?

k

? ??

?

k

?

Z

?

D. ?6k ?1,2 ? 6k??k ?Z ?

9.在如图所求的程序框图中,若输出 n 的值为 4 ,则输入的 x 的取值范围为

A.

?1 ?? 8

,

3 4

? ??

B. ?3,13?

C. ?9, 33?

D.

? ??

9 8

,

13 4

? ??

10.已知某几何体的三视图如图所求,则该几何体的表面积为

A.

? ???

9

5? 4

?

37

?

9? 4

? ?1???

a

2

B.

? ???

9

5? 4

? 9? 4

?

? 1???

a

2

C.

? ???

9

5? 4

?

37

?

9? 4

? ???

a

2

D.

? ???

9

5? 4

?

37

?

9? 4

?

? 1???

a2

11.甲、乙两人各自在 400 米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过 50 米的概率是

A. 1 8

B. 11 36

C. 15 64

D. 1 4

12.已知定义在 R 上的可导函数 f ? x? 的导函数为 f ' ? x? ,满足 f ' ? x? ? f ? x? ,且 f ?0? ? 1 ,则不等式
2

f ? x? ? 1 ex ? 0 的解集为
2

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A.

? ??

??,

1 2

? ??

B. ?0, ???

C.

? ??

1 2

,

??

? ??

D. ???,0?

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

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? ? 13.已知函数

f

?x?

?

??log2 x,

? ??

x

?

2

,

x ? 2, 则f

f ? f ??3?? 的值为

x ? 2,



? ? 14.已知命题 P : ?x ? R ,log2 x2 ? x ? a ? 0 恒成立,命题 Q : ?x0 ???2, 2? ,使得 2a ? 2x0 ,若命题 P ? Q 为真

命题,则实数 a 的取值范围为



?bx ? cy ? bc ? 0,

15.已知

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?

b

?

0?

表示的区域为

D1

,不等式组

??bx ??bx

? ?

cy cy

? bc ? bc

? ?

0, 0, 表示的区域为 D2

,其中

??bx ? cy ? bc ? 0

a2 ? b2 ? c2 ?c ? 0? ,记 D1 与 D2 的公共区域为 D ,且 D 的面积 S 为 2

3 ,圆 x2 ? y2 ? 3 内切于区域 D 的边界, 4

则椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?b

? 0? 的离心率为



16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,

其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,

三边分别为13 里,14 里,15 里,假设1里按 500 米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为
米.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

? ? 17. 已知数列 an 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 4 , n ? N* .

(1)证明:数列?an ? 2? 是等比数列,并求数列?an? 的通项公式;

(2)设 bn

?

log3 ?an ? 2?
an ? 2

,求数列?bn? 的前 n

项和 Tn

.

18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10 分制),用相关的特征量 y 表示;

医护专业知识考核分数(试卷考试:100 分制),用相关的特征量 x 表示,数据如下表:

特征量

1

2

3

4

5

6

7

x

98

88

96

91

90

92

96

y

9.9

8.6

9.5

9.0

9.1

9.2

9.8

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(1)求 y 关于 x 的线性回归方程(计算结果精确到 0.01 );

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(2)利用(1)中的线性回归方程,分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响,并估计某医护人员

的医护专业知识考核分数为 95 分时,他的关爱患者考核分数(精确到 0.1 ); (3)现要从医护专业知识考核分数 95 分以下的医护人员中选派 2 人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训, 求这两人中至少有一人考核分数在 90 分以下的概率.

n
?

?

xi

?

x

?

?

yi

?

y

?

? ? ? 附:回归方程 y ? bx ? a 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 b ? i?1 n

2

xi ? x

,a ? y ?bx .

i ?1

19. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD是边长为 a 的菱形,PD ? *面 ABCD ,?BAD ? 60 ,PD ? 2a , O 为 AC 与 BD 的交点, E 为棱 PB 上一点.

(1)证明:*面 EAC ? *面 PBD ;

(2)若 PD / / *面 EAC ,三棱锥 P ? EAD的体积为18 3 ,求 a 的值.

20.

已知动圆

C

恒过点

? ??

1 2

,

0

? ??

,且与直线

x

?

?

1 2

相切.

(1)求圆心 C 的轨迹方程;

(2)若过点 P?3, 0? 的直线交轨迹 C 于 A ,B 两点,直线 OA ,OB( O 为坐标原点)分别交直线 x ? ?3 于点 M ,

N ,证明:以 MN 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值.

21. 已知函数 f ? x? ? 2x3 ?3?a ?1? x2 ? 6ax , a ? R .

(1)若对于任意的 x ??0, ??? , f ? x? ? f ??x? ? 6ln x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(2)若 a ?1,设函数 f ? x? 在区间?1, 2?上的最大值、最小值分别为 M ?a? 、 m?a? ,记 h?a? ? M ?a? ? m?a? ,

求 h?a? 的最小值.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程
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在*面直角坐标系

xOy

中,已知直线

l

:

? ?? ? ? ??

x y

? ?

?1 ? 2?

1 t, 2 3t 2



t

为参数),曲线

C

:

?x

? ?

y

? 1? 2cos?, ? 2 ? 2sin?

(?

为参数),以原

点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的极坐标方程;

(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,求 ?ABC 的面积.

23.选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x? ? x ? 2 ? x ?1 .

(1)求不等式 f ? x? ? 2 的解集;

(2)记 f ? x? 的最大值为 k ,证明:对任意的正数 a , b , c ,当 a ? b ? c ? k 时,有 a ? b ? c ? k 成立.

一、选择题 1-5:BCCCA 二、填空题

6-10:ACDDA

试卷答案 11、12:CB

13. log2 3
三、解答题

14.

? ??

5 4

,

2???

15. 1 或 3 22

17.解:(1)由 an?1 ? 3an ? 4 ,
得 an?1 ? 2 ? 3?an ? 2? ,



an?1 ? 2 an ? 2

?

3

,且

a1

?

2

?

3

,

所以数列?an ? 2? 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列.

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16. 4062.5

所以 an ? 2 ? 3? 3n?1 ? 3n ,
? ? 故数列?an? 的通项公式为 an ? 3n ? 2 n ? N* .

(2)由(1)知, an ? 2 ? 3n ,

所以 bn

?

log3 3n 3n

?

n 3n

.

所以Tn ? b1 ? b2 ? b3 ?

?

bn

?

1 31

?

2 32

?

3 33

?

1 3

Tn

?

1 32

?

2 33

?

3 34

?

? n ?1 ? n .② 3n 3n?1

①-②,得

2 3

Tn

?

1 3

?

1 32

?

1 33

?

1 34

?

?1 3n

?

n 3n?1

? n .① 3n

?

1 3

? ?1 ??

?

? ??

1 3

n
? ??

? ? ??

1? 1

?

n 3n?1

?

1 2

?

1 2 ?3n

?

n 3n?1



3

所以 Tn

?

33 4 0 4 ?3n

?

2n 4 ?3n

?

3 4

?

2n ? 3 . 4 ?3n

故数列?bn?的前 n

项和 Tn

?

3 4

?

2n ? 3 . 4 ? 3n

18.解:(1)由题得, x ? 98 ? 88 ? 96 ? 91? 90 ? 92 ? 96 ? 93. 7

y ? 9.9 ? 8.6 ? 9.5 ? 9.0 ? 9.1? 9.2 ? 9.8 ? 9.3 . 7

? ?? ? n
? xi ? x yi ? y ? ?98 ? 93?? ?9.9 ? 9.3? ?
i ?1

?88?93???8.6 ?9.3? ? ?96 ?93???9.5?9.3? ?

?91?93???9.0 ?9.3? ? ?90?93???9.1?9.3? ?

?92 ?93???9.2 ?9.3? ? ?96 ?93???9.8?9.3? ? 9.9

? ? ?n xi ? x 2 ? ?98 ? 93?2 ? ?88 ? 93?2 ? ?96 ? 93?2
i ?1
??91? 93?2 ? ?90 ? 93?2 ? ?92 ? 93?2 ? ?96 ? 93?2 ? 82 .

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n

? ? ?? ? ? ? ? 所以b ? i?1

xi ? x yi ? y

n

2

xi ? x

? 9.9 ? 0.12 . 82

i ?1

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a ? 9.3 ? 0.12? 93 ? ?1.86 .

所以线性回归方程为 y ? 0.12x ?1.86 .

(2)由于 b ? 0.12 ? 0 .
所以随着医护专业知识的提高,个人的关爱患者的心态会变得更温和,耐心,因此关爱患者的考核分数也会稳步提 高.
当 x ? 95时, y ? 0.12?95 ?1.86 ? 9.5.
(3)由于 95 分以下的分数有88 ,90 ,91,92 ,共 4 个,则从中任选两个的所有情况有 ?88,90? ,?88,91? ,?88,92? ,
?90,91? , ?90,92? , ?91,92? ,共 6 种.
则这两个人中至少有一个分数在 90 分以下的情况有 ?88,90? , ?88,91? , ?88,92? ,共 3 种.
故选派的这两个人中至少有一人考核分数在 90 分以下的概率 P ? 3 ? 1 . 62
19.解:(1)因为 PD ? *面 ABCD , AC ? *面 ABCD ,所以 PD ? AC . 又四边形 ABCD为菱形,所以 AC ? BD , 又 PD BD ? D , 所以 AC ?*面 PBD . 而 AC ? *面 EAC , 所以*面 EAC ? *面 PBD . (2)因为 PD / / *面 EAC ,*面 EAC *面 PBD ? OE . 所以 PD / /OE .又 O 为 AC 与 BD 的交点, 所以 O 是 BD 的中点,所以 E 是 PB 的中点.
因为四边形 ABCD是菱形,且 ?BAD ? 60 , 所以取 AD 的中点 H ,连接 BH ,

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可知 BH ? AD,又因为 PD ? *面 ABCD , 所以 PD ? BH . 又 PD PD ? D , 所以 BH ?*面 PAD .

由于 AB ? a ,所以 BH ? 3 a . 2

因此 E 到*面 PAD 的距离 d ? 1 BH ? 1 ? 3 a ? 3 a ,

2

22 4

所以 VP ? EAD

? VE?PAD

?

1 3 S?PAD

?d

?

1? 3

1 ? a ? 2a ? 2

3 a ? 3 a3 ? 18 4 12

3.

解得 a ? 6 ,故 a 的值为 6 .

20.解:(1)由题意得,点

C

与点

? ??

1 2

,

0

? ??

的距离始终等于点

C

到直线

x

?

?

1 2

的距离.

因此由抛物线的定义,可知圆心

C

的轨迹为以

? ??

1 2

,

0

? ??

为焦点,

x

?

?

1 2

为准线的抛物线.

所以 p ? 1 ,即 p ? 1. 22

所以圆心 C 的轨迹方程为 y2 ? 2x .

(2)由圆心 C 的轨迹方程为 y2 ? 2x ,

? ? ? ? 可设 A 2t12, 2t1 , B 2t22, 2t2 , ?t1t2 ? 0? , ? ? ? ? 则 PA ? 2t12 ? 3, 2t3 , PB ? 2t22 ? 3, 2t2 , ? ? ? ? 由 A , P , B 三点花线,可知 2t12 ? 3 ? 2t2 ? 2t22 ? 3 ? 2t3 ? 0 ,

即 2t12t2 ?3t2 ? 2t22t3 ? 3t1 ? 0 ? 2t1t2 ?t2 ?t3 ? ? 3?t1 ?t2 ? ? 0 ? ?2t1t2 ? 3??t3 ?t2 ? ? 0 .

因为 t1

?

t2

,所以 t1t2

?

?

3 2

.

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又依题得,直线 OA 的方程为 y ? 1 x . t1

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x

?

?3

,得

M

? ? ?

?3,

?

3 t1

? ? ?

.

同理可知

N

? ? ?

?3,

?

3 t1

? ? ?

.

因此以

MN

为直径的圆的方程可设为

?

x

?

3?

?

x

?

3?

?

? ? ?

y

?

3 t1

? ? ?

? ? ?

y

?

3 t2

? ? ?

?

0

.

化简得 ? x ? 3?2

?

y2

?3

?

? ?

t1

3 ?
t2

? ?y? ?

9 t1t2

?

0,

即 ? x ? 3?2 ? y2 ? 3?t1 ? t2 ? y ? 9 ? 0 .

t1t2

t1t2

将 t1t2

?

?

3 2

代入上式,可知 ? x ? 3?2

?

y2

? 2?t1

? t2 ?

y

?6

?

0,

在上式中令 y ? 0,可知 x1 ? ?3? 6 , x2 ? ?3? 6 ,

因此以 MN 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为 x1 ? x2 ? ?3 ? 6 ? 3 ? 6 ? 2 6 ,为定值.

21.解:(1)因为 f ? x? ? f ??x? ? ?6?a ?1? x2 ? 6ln x 对任意的 x ??0, ??? 恒成立,

所以

?

?a

?1?

?

ln x x2

.



g

?

x?

?

ln x x2



x

?

0

,则

g'

?

x?

?

1?

2 ln x2

x

.

令 g' ? x? ? 0 ,则 x ? e .

? ? ? ? 当 x ? 0, e 时, g' ?x? ? 0 , g ? x? 在区间 0, e 上单调递增;

? ? ? ? 当 x ? e, ?? 时, g' ? x? ? 0, g ? x? 在区间 e, ?? 上单调递减.

? ? 所以 g ? x? ? g e ? 1 ,

max

2e

所以 ? ?a ?1? ? 1 ,即 a ? ?1? 1 ,

2e

2e

所以实数

a

的取值范围为

? ??

??,

?1 ?

1 2e

? ??

.

(2)因为 f ? x? ? 2x3 ?3?a ?1? x2 ? 6ax ,

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所以 f ?1? ? 3a ?1, f ?2? ? 4 . 所以 f ' ? x? ? 6x2 ? 6?a ?1? x ? 6a ? 6?x ?1??x ? a?. 令 f ' ? x? ? 0 ,则 x ?1或 a .
①若1 ? a ? 5 , 3
当 x ??1, a? 时, f ' ? x? ? 0 , f ? x? 在区间 ?1, a? 上单调递减; 当 x ??a, 2? 时, f ' ? x? ? 0, f ? x? 在区间 ?a, 2? 上单调递增. 又因为 f ?1? ? f ?2? , 所以 M ?a? ? f ?2? ? 4 , m?a? ? f ?a? ? ?a3 ? 3a2 ,
? ? 所以 h?a? ? M ?a? ? m?a? ? 4 ? ?a3 ? 3a2 ? a3 ? 3a2 ? 4 .
因为 h' ?a? ? 3a2 ? 6a ? 3a?a ? 2? ? 0,

所以

h?a?

在区间

???1,

5 3

? ??

上单调递减,

所以当

a

? ???1,

5? 3 ??

时,

h?a?

的最小值为

h

? ??

5 3

? ??

?

8 27

.

②若 5 ? a ? 2 , 3

当 x ??1, a? 时, f ' ? x? ? 0 , f ? x? 在区间 ?1, a? 上单调递减;

当 x ??a, 2? 时, f ' ? x? ? 0, f ? x? 在区间 ?a, 2? 上单调递增.

又因为 f ?1? ? f ?2? ,

所以 M ?a? ? f ?1? ?3a ?1, m?a? ? f ?a? ? ?a3 ? 3a2 .

因为 h' ?a? ? 3a2 ? 6a ? 3 ? 3?a ?1?2 ? 0 ,

所以

h?a?

在区间

? ??

5 3

,

2

? ??

上单调递增.

所以当

a

?

? ??

5 3

,

2

? ??

时,

h

?a?

?

h

? ??

5 3

? ??

?

8 27

.

③若 a ? 2 ,

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当 x ??1, 2? 时, f ' ? x? ? 0 , f ? x? 在区间 ?1,2? 上单调递减,

所以 M ?a? ? f ?1? ? 3a ?1, m?a? ? f ?2? ? 4.

所以 h?a? ? M ?a? ? m?a? ? 3a ?1? 4 ? 3a ?5,

所以 h?a? 在区间?2, ??? 上的最小值为 h?2? ?1.

综上所述, h?a? 的最小值为 8 .
27

22.解:(1)将直线

l

:

? ?? ?

x

?

?1

?

1 2

t,

消去参数

t



? ??

y

?

2

?

3t 2

得 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0,

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故直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 .

将曲线 C

:

?x

? ?

y

? 1? 2cos?, ? 2 ? 2sin?

化为普通方程为 ?

x

?1?2

??

y

?

2?2

?

4,

即 x2 ? y2 ? 2x ? 4y ?1? 0,

将 ? 2 ? x2 ? y2 , x ? ? cos? , y ? ? sin? 代入上式,

可得曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ?1 ? 0 .

3?2? 3?2

(2)由(1)可知,圆心 C ?1, 2? 到直线 l : 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 的距离为 d ?

? 3.

? ?2 3 ?1

则 AB ? 2 R2 ? d 2 ? 4 ? 3 ? 2 ( R 为圆 C 半径).

所以 S?ABC

?

1 2

AB

?d

?

1 ? 2? 2

3?

3.

故所求 ?ABC 面积为 ?ABC 的面积为 3 .

??3,
23.解:(1)由题知, f ? x? ? ??2x ?1,
??3.

x ? ?2, ? 2 ? x ? 1, x ? 1.

所以

f

?x?

?

2 ,即

??3 ? 2,

? ?

x

?

?2



?2x ???2

?1 ? 2, ? x ?1



?3 ?? x

? ?

2, 1.

解得

x

?

1 2

.

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故原不等式的解集为

? ??

1 2

,

??

? ??

.

※精 品 试 卷※

(2)因为 f ? x? ? x ? 2 ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? 3 (当且仅当 ? x ? 2?? x ?1? ? 0 时取等号),

所以 k ? 3,因此有 a ? b ? c ? 3.

所以 a ? b ? c ? 1? a ? 1?b ? 1? c

? 1? a ? 1? b ? 1? c ? 3 ? a ? b ? c ? 3 ? 3 ? 3(当且仅当 a ? b ? c ?1时取等号),

222

2

2

故不等式 a ? b ? c ? k 得证.

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