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2012年高考专题复*第5单元-曲线运动 万有引力与航天-物理-山东科技版·福建专用

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第五单元 曲线运动 万有引力与航天

第五单元 │ 知识框架

知识框架

曲 线 运 动

第五单元 │ 知识框架

曲 线 运 动

第五单元 │ 知识框架

? ? v Mm ?2π? r ?规律:G r =m r =mrω =m? T ? 万有引力与航天? ? ? ? 天体运动? ?同步卫星,*地卫星 ? ?人造卫星?三个宇宙速度 ? ? ?
Mm 万有引力定律:F=G 2 r
2 2 2 2

第五单元 │ 考试说明 考试说明
新课程标准 考试说明 要求 说明

(1)会用运动合成与分解的方 法分析抛体运动. (2)会描述匀速圆周运动.知 道向心加速度. (3)能用牛顿第二定律分析匀 速圆周运动的向心力.分析生 活和生产中的离心现象. (4)关注抛体运动和圆周运动 的规律与日常生活的联系.

运动的合成与分解



斜抛运动只做定性 要求

抛体运动



匀速圆周 运动 、 角 Ⅰ 速 度 、 线 速度 、 向 心加速度

匀速圆周 运动 的向 Ⅱ 心力

第五单元 │ 考试说明
(5)通过有关事实了解万有 引力定律的发现过程.知道 万有引力定律.认识发现万 有引力定律的重要意义,体 会科学定律对人类探索未知 世界的作用. (6)会计算人造卫星的环绕 速度.知道第二宇宙速度和 第三宇宙速度. 离心现象 Ⅰ

万有引力定律及 Ⅱ 其应用 环绕速度 Ⅱ

第二宇宙速度和 Ⅰ 第三宇宙速度 经典时空观和相 Ⅰ 对论时空观

第五单元 │ 使用建议 使用建议
1.复*本单元应特别强调要注意以下几点: (1)形成基本思路、强调两种模型:通过本单元内容的复*,建议要切实帮助 学生建立运动的合成与分解的基本思想,这种思想要通过*抛运动模型去强 化.竖直面内圆周运动的绳模型、杆模型是高考的热点,尤其是在最高点和最低 点的临界问题要给予充分重视,要讲透练熟. (2)把握核心方法、强化动力学思想:人造卫星问题涉及的知识比较多,题目 虽然千变万化,但有一点却是一个最基本的关系,即万有引力提供向心力.因此 必须明确,只要看到卫星稳定运动的问题,均可视其为匀速圆周运动,向心力由 万有引力提供,进而结合向心力的不同表达式,推导出已知量和所求量之间的关 系.理解圆周运动中描述圆周运动的几个物理量的意义,强化用牛顿运动定律的 解题思想去分析匀速圆周运动和非匀速圆周运动的解题方法. 2.课时安排 本单元建议安排 10 课时:第 22、23、24、25 讲各两课时,第 26 讲、单元 训练 1 各一课时.

第22讲 │ 运动的合成与分解

第22讲 运动的合成与分解

第22讲 │ 编读互动 编读互动
1.通过复*,使学生明确曲线运动的条件和特点,掌 握应用运动分解的方法研究曲线运动的基本思路,尤其是 *抛运动、类*抛运动、带电粒子在电场中的曲线运动问 题的求解方法.注重培养学生自主建模的能力. 2.本讲教学可以按下面的思路安排: (1)通过例 1 和变式题帮助学生理解曲线运动的特点和 做曲线运动的条件. (2)结合例 2 和变式题加强对运动的合成与分解的理 解,体会合速度与分速度、合位移与分位移、合运动与分 运动的联系与区别. (3)通过例 3 和变式题让学生体会连接体问题的速度解 决方法.

第22讲 │ 考点整合 考点整合
一、运动的性质和轨迹 1.物体运动的性质:由加速度及速度和加速度的方向关 系决定. 2.物体运动的轨迹:是直线还是曲线取决于它们的合速 度和合加速度方向是否____线. 共 3.常见的类型有: 匀速直线运动 ___或______. 静止 (1)a=0:性质为____________

第22讲 │ 考点整合

(2)a 恒定:性质为匀变速运动,可分为三类: 匀加速直线 ①初速度 v 与 a 同向,性质为____________运动; ②初速度 v 与 a 反向,性质为____________运动; 匀减速直线 ③初速度 v 与 a 成一定角度(不为 0° 180° 或 ),性 质为____________运动(轨迹在 v、a 之间, 速度方向逐 匀变速曲线 渐向 a 的方向接*,但不可能达到).
变速 (3)a 变化:性质为______运动.如简谐运动.

第22讲 │ 考点整合
二、合运动与分运动的关系 1.运动的独立性原理 一个物体同时参与几种运动,那么各分运动都可以看作 各自独立进行,它们之间互不干扰,而总的运动是这几个分 运动的合成. 2.运动的等时性原理 同一时间 合运动和分运动是在__________内进行的,它们具有等 时性. 3.运动的等效性原理 各分运动叠加起来的规律与合运动的规律具有完全相 替代 同的效果.因此,合运动与分运动可以相互______.

第22讲 │ 考点整合

4.满足*行四边形定则 因为 x、 a 都是矢量, v、 所以遵循*行四边形定则. 若 加 减 它们是在同一直线上,则同向相____,反向相____. 5.合运动与分运动的区分原则:物体实际进行的运 对角 动一定是合运动,对应于*行四边形的______线.

第22讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点一 对曲线运动的条件的考查
曲线运动是指运动轨迹为曲线的运动, 可从以下几方面强 化对曲线运动的理解和认识: 1.运动学特征:由于做曲线运动的物体即时速度方向沿曲 线上物体所经过的即时位置的切线方向, 所以做曲线运动的物 体的速度方向时刻发生变化,即曲线运动一定为变速运动.若 从某一时刻起物体速度方向不再变化, 则说明物体开始做直线 运动.

第22讲 │ 要点探究
2.动力学特征:由于物体速度时刻变化,说明存在加速度,根据牛顿 第二定律可知做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度始终有 夹角(曲线运动条件).合外力在垂直速度方向上的分力改变物体速度方 向,合外力在沿速度所在直线上的分力改变物体速度大小. 3.轨迹特征:曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之 间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向总指向曲线的“凹”侧. 4.能量特征: 如果物体所受合外力始终和物体速度垂直, 则合外力对 物体不做功,物体动能不变;若合外力不与物体速度垂直,则合外力对 物体做功,物体动能发生变化.

第22讲 │ 要点探究

例 1 物体由静止开始自由下落,一小段时间后突 然受一恒定水*向右的风力的影响,但着地前一段时间 风突然停止,则其运动的轨迹可能是图 22-1 中的( )

第22讲 │ 要点探究

例 1 C [解析] 当突然受一恒定水*向右的风力的 影响时,物体已获得竖直向下的速度,合力斜向右下方, 风突然停止时,速度斜向右下方,合力竖直向下,根据曲 线运动的条件可知,C 对.

第22讲 │ 要点探究

[点评] 判定是曲线运动还是直线运动,方法是看力 的方向与速度的方向是否在一条直线上, 当运动物体所受 的合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时, 物体就 做曲线运动.下面的变式题通过具体的轨迹直观、形象地 练*曲线运动的条件.

第22讲 │ 要点探究

变式题 1 质点仅在恒力 F 的作用下,由 O 点运动到 A 点的轨迹如图 22-2 所示,在 A 点时速度的方向与 x 轴*行, 则恒力 F 的方向可能沿 ( ) A.x 轴正方向 B. x 轴负方向 C. y 轴正方向 D. y 轴负方向

第22讲 │ 要点探究

变式题 1 D [解析] 在 A 点, 方向的速度为 0, y 说明沿 y 方向物体做减速运动,可能有沿 y 轴负方向 的作用力。

第22讲 │ 要点探究
变式题 2 [2010· 厦门大学附中]质点在一水*面内沿曲线由 P 运 动到 Q,如果用 v、a、F 分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受 到的合外力,图 22-3 中有可能正确的是 ( )

第22讲 │ 要点探究

变式题 2 B [解析] 力一定指向轨迹弯曲的内 侧,加速度的方向和力的方向相同,也指向轨迹弯曲 的内侧,而速度的方向一定沿轨迹的切线的方向.综合 以上分析,B 正确.

第22讲 │ 要点探究
? 探究点二 运动的合成与分解

1.运动的合成与分解实质是对描述物体运动的参量(位移、 速度、 加速度)进行合成与分解,与力的合成与分解一样,遵从*行四边形 定则. 2.合运动的性质可由合初速度与合加速度进行判断: (1)两个匀速直线运动的合运动一定为匀速直线运动; (2)合初速度与合加速度共线,物体做直线运动; (3)合初速度与合加速度不共线,物体做曲线运动,合外力恒定 时物体做匀变速曲线运动.

第22讲 │ 要点探究
3.涉及运动合成与分解的常见问题主要有拉船问题(又称 绳端问题)、渡河问题,准确确定合运动(物体的实际运动为合 运动)是分析这两类问题的关键: 如人拉小船运动问题(如图 22-4 所示), 船的实际速度为合 速度,小船沿绳方向的速度为分速度 v1,小船绕滑轮转动的 速度为分速度 v2,人拉绳的速度与小船速度满足 v 人=v1=v 船 cosθ.

第22讲 │ 要点探究

例 2 船在静水中的速度为 v,流水的速度为 u,河 宽为 L.(1)为使渡河时间最短,应向什么方向划船?此时 渡河所经历的时间和位移各为多大?(2)当 v>u 时, 为使 渡河通过的位移最短,应向什么方向划船?此时渡河所 经历的时间和所通过的位移各为多大?

第22讲 │ 要点探究

L 2 例 2 (1)垂直河岸 u +v2; v u L (2)偏上游与河岸夹角 α=arccosv v2-u2

L v

L

第22讲 │ 要点探究
[解析] (1)为使渡河时间最短, 必须使垂直于河岸的分速度 尽可能大,即应沿垂直于河岸的方向划船,则渡河经历的时间 L 为 t1 = v , uL 小船*叫泻影兜姆治灰莆 s′=ut1= v , L 2 2 2 所以小船渡河位移 x1= L +s′ = v u +v2.

第22讲 │ 要点探究
(2)为使渡河路程最短, 必须使船的合速度方向尽可能 垂直于河岸.当 v>u 时,划船的速度方向与河岸夹 α 角 偏向上游方向,合速度方向垂直于河岸,如图所示. u 由图知 cosα=v, L=vsinα·2,x2=L, t u 解得 α=arccosv, L t2= 2 2. v -u

第22讲 │ 要点探究
[点评] 小船在流水中渡河时,同时参与了两个方向上的分运动, 其一是船随流水的运动,其二是船相对于水的运动(即在静水中船的运 动),船的实际运动为合运动. 因船随流水的分运动速度 v2 *行河岸,所以渡河时间取决于小船 相对静水的分速度 v1,当小船相对静水的分速度 v1 垂直河岸时,渡河 时间最短,此时船身与河岸垂直. 最短渡河位移是指合运动的位移最短, 该情况下必须满足合速度的 方向垂直于河岸的条件,即 v1>v2. 当 v1<v2 时,合速度不可能垂直于河岸,无法垂直河岸渡河.此情 况下最短渡河位移确定方法如下: 如图所示,以船随流水的分运动速度 v2 末端为圆心,以船相对静水的分速度 v1 为半径画圆,则 v2 起点向圆 弧所作的切线的方向就是航程最短情况下的合速度方向. 由图可知 sinα v1 v1 d = ,船过河最短航程 x 短= = d. v2 sinα v2

第22讲 │ 要点探究

第22讲 │ 要点探究
[2010· 江苏卷] 如图 22-5 所示,一块橡皮用细线悬挂于 O 点, 用铅笔靠着线的左侧水*向右匀速移动, 运动中始终保持 悬线竖直,则橡皮运动的速度( ) A.大小和方向均不变 B.大小不变,方向改变 C.大小改变,方向不变 D.大小和方向均改变

第22讲 │ 要点探究

变式题 1 A [解析] 橡皮在水*方向运动与铅笔的 运动相同,为匀速直线运动.因绳的长度不变,水*部分 绳的长度随时间均匀增大, 所以竖直部分绳的长度随时间 均匀减小,橡皮在竖直方向也做匀速直线运动.因此橡皮 的合运动是匀速直线运动.

第22讲 │ 要点探究
[2010· 同安一中] 某人横渡一河流,船滑行相对于谁的速 度和水流动速度一定,此人过河最短时间为 t1;若船相对于水 的速度大于水速,则船相对于水的速度与水速大小之比为 ( )

第22讲 │ 要点探究

变式题 2 A [解析] 船头正对对岸时,时间最短, d 为 t1= ;船相对于水的速度大于水速,所以最短位移等 v船 d 于河的宽度 d,渡河时间为 t2= 2 2 ;联立以上方程 v船-v水 v船 t2 可以解得: = 2 2,A 选项正确. v水 t2-t1

第22讲 │ 要点探究
? 探究点三 绳(杆)连接物问题的求解

绳(杆)连接物问题涉及两个相互关联的物体,往往 考查两个物体的速度、位移等关系.此类模型往往选择 绳(杆)和物体的连接点为研究对象,而两个相互关联的 物体的速度满足合速度与分速度的关系.

第22讲 │ 要点探究

物体的实际运动就是合运动,分运动应该按照运动的 效果分解.沿着绳(杆)末端的运动可以分解为两个分运动: 沿绳(杆)方向伸长或收缩的分运动和垂直于绳子方向转动 的分运动. 把与杆(绳)端点连接的物体的实际速度分解为垂 直于杆(绳)和*行于杆(绳)两个分量,根据各端点沿绳方向 的分速度大小相同求解. 特别提醒: 沿着绳(杆)的方向上的两个分速度相等是绳 (杆)连接物问题的研究关键.

第22讲 │ 要点探究
例 3 如图 22-6 所示,一个长直轻杆两端分别固定 一个小球 A 和 B,两球的质量均为 m,两球半径忽略不 计,杆 AB 的长度为 l,现将杆 AB 竖直靠放在竖直墙上, 轻轻振动小球 B,使小球 B 在水*地面上由静止向右运 l 动,求当 A 球沿墙下滑距离为 时 A、B 两球的速度 vA 2 和 vB 的关系.(不计一切摩擦)

第22讲 │ 要点探究

例3

vA vB= 3

第22讲 │ 要点探究

[解析] A、B 两球速度的分解情况如图所示,由题意 知,θ=30° ,由运动的合成与分解得 vAsinθ=vBcosθ, vA cosθ vB= sinθ = 3.

第22讲 │ 要点探究

[点评] 解答本题时要注意两点:①A、B 两球的实际 运动是它们各自的合运动;②A、B 两球沿杆方向的分速 度相等.通过此题训练学生把“拉船模型”灵活迁移,达 到触类旁通的目的. 下面的变式题是从沿绳方向速度相同 角度,进一步地练*绳(杆)连接物问题的解法.

第22讲 │ 要点探究
A、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放 在水*面上, 现物体 A 以 v1 的速度向右匀速运动, 当 绳被拉成与水*面夹角分别是 α、β 时,如图 22-7 所 示,物体 B 的运动速度 vB 为(绳始终有拉力)( ) v1sinα v1cosα A. B. sinβ sinβ v1sinα v1cosα C. D. cosβ cosβ

第22讲 │ 要点探究

变式题 D [解析] 设物体 B 的运动速度为 vB, 此速 度为物体 B 合运动的速度,根据它的实际运动效果,两分 运动分别为:沿绳收缩方向的分运动,设其速度为 vB1; 垂直绳方向的圆周运动,速度分解如图所示,则有 vB= vB1 . cosβ

第22讲 │ 要点探究
物体 A 的合运动对应的速度为 v1,它也产生两个分运 动效果, 分别是: 沿绳伸长方向的分运动, 设其速度为 vA1; 垂直绳方向的圆周运动,它的速度分解如图所示,则有 vA1 =v1cosα.

由于对应同一根绳,其长度不变,故:vB1=vA1. v1cosα 根据以上三式解得:vB= .选项 D 正确. cosβ

第23讲 │ 抛体运动

第23讲

抛体运动

第23讲 │ 编读互动 编读互动
1.*抛运动的规律和研究方法是本讲的重点,也是高考热点.*抛运动 知识的基本考查常以选择题的形式命题,综合考查常联系*抛运动、电场、 机械能等有关知识结合综合命题.学*中要加强对本部分知识的综合及应用 性题型的训练.斜抛运动在新课标高考大纲中只作定性要求,*几年高考还 未考查过, 但作为运动的合成和分解的一种重要实例, 考查的可能性是有的. 2. 本讲要从*抛运动的一般规律和研究方法入手, 解决*抛物体落在斜 面上等运动的解题方法,为以后电场中的类*抛运动问题的处理打下基础. (1)例 1 和变式题是*抛运动基本规律的应用, 可以帮助学生理解和巩固 *抛运动的基础知识. (2)例 2 和变式题是复*如何解决*抛运动与斜面结合的解题方法. (3)例 3 和变式题是*抛运动中的临界问题,对学生提高客观题的解题能 力是有帮助的.

第23讲 │ 考点整合 考点整合
一、*抛运动 1.定义:将物体以一定的初速度沿________方向抛 水* 出,不考虑空气阻力,物体只在 重力 ________作用下的运动.

水* 重力 2.条件: (1)初速度沿________方向; (2)只受________ 作用. 抛物线 3.性质: 匀变速 ________曲线运动, 其运动轨迹为________.

第23讲 │ 考点整合
匀速直线 4.研究方法:分解成水*方向的________运动和竖直 自由落体 方向的________运动两个方向的分运动. v0 5.规律:水*方向:匀速直线运动,vx=________,x =________,ax=________. 0 v0t gt 竖直方向:自由落体运动,vy=________,y= 1 2 gt g ________,ay=________. 2 合运动(实际运动):v= v2+v2,s= x2+y2,a= x y g ________.

第23讲 │ 考点整合
二、类*抛运动 1.定义:加速度恒定,加速度方向与初速度方向________. 垂直 匀变速 抛物线 2.性质:________曲线运动,其运动轨迹为________. 3.研究方法:一般将类*抛运动沿初速度和加速度两个方向分解. 4.规律:与*抛运动类似. 初速度方向:匀速直线运动,vx=________,x=________,ax= v0 v0t 0 ________. 1 2 加速度方向:初速度为零的匀加速直线运动,vy=ayt,y= ayt . ... 2 合运动(实际运动):v= v2+v2, s= x2+y2. x y 最典型的类*抛运动是带电粒子在电场中的偏转,本书将在电场 单元中复*.

第23讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点一 *抛运动基本规律的应用

1.对*抛运动规律的理解 (1)水*射程和飞行时间
物理量 公式
2h g x=v0t=v0

决定因素

飞行时间 水*射程

t=

只与h、g有关,与v0无关 由v0、h、g共同决定

第23讲 │ 要点探究

(2)规律
规律 速度变化规律 内容 (1)任意时刻的速度水*分量均等于初速度 v0. (2)任意相等的时间间隔Δt内的速度变化量 均竖直向下,且Δv=Δvy=gΔt. (1)任意相等的时间间隔Δt内,水*位移相 等,且Δx=v0Δt. (2)连续相等的时间间隔Δt内,竖直方向上 的位移差不变,即Δy=gΔt2.

位移变化规律

第23讲 │ 要点探究

2.*抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ 做*抛(或类*抛)运动的物体在任一时刻任一位 置处,设其末速度方向与水*方向的夹角为 θ,位移 与水*方向的夹角为 φ,则 tanθ=2tanφ 推论Ⅱ 做*抛(或类*抛)运动的物体,任意时刻的瞬时 速度方向的反向延长线一定通过此时水*位移的中 点

第23讲 │ 要点探究
例 1 在同一*台上的 O 点抛出的 3 个物体,做*抛 运动的轨迹如图 23-1 所示,则 3 个物体做*抛运动的初 速度 vA、vB、vC 的关系及落地时间 tA、tB、tC 的关系分别 是( ) A.vA>vB>vC,tA>tB>tC B.vA=vB=vC,tA=tB=tC C.vA<vB<vC,tA>tB>tC D.vA<vB<vC,tA<tB<tC

第23讲 │ 要点探究

[解析] 竖直方向上物体做自由落体运 1 2 动,由图可知 yA>yB>yC,又 y= gt ,所以 tA>tB>tC;水 2 x *方向上做匀速直线运动, 由图可知 xA<xB<xC 而 v= t , 所以 vA<vB<vC,所以选项 C 正确. C

例 1

第23讲 │ 要点探究

[点评] 飞行的时间由物体的下落高度决定,高度越 高,飞行的时间越长;水*飞行的位移由初速度和高度共 同决定.

第23讲 │ 要点探究

如图 23-2 所示,一物体自倾角为 θ 的固定斜面顶端沿水* 方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水*方向 的夹角 φ 满足( ) A.tanφ=sinθ B.tanφ=cosθ C.tanφ=tanθ D.tanφ=2tanθ

第23讲 │ 要点探究

[解析] 物体在飞行过程中,速度的方 vy gt 向满足 tanφ= = ;物体在飞行过程中,位移的方向满 v0 v0 1 2 gt y 2 gt 足 tanθ=x= = ;故 tanφ=2tanθ. v0t 2v0 D

变式题 1

第23讲 │ 要点探究
[2010· 南*模拟] 如图 23-3 所示, 某同学为了找出*抛 运动物体的初速度之间的关系, 用一个小球在 O 点对准前方 的一块竖直放置的挡板,O 与 A 在同一高度,小球的水*初 速度分别是 v1、v2、v3,打在挡板上的位置分别是 B、C、 D,且 AB∶BC∶CD=1∶3∶5.则 v1、v2、v3 之间的正确关 系是( ) A.v1∶v2∶v3=3∶2∶1 B.v1∶v2∶v3=5∶3∶1 C.v1∶v2∶v3=6∶3∶2 D.v1∶v2∶v3=9∶4∶1

第23讲 │ 要点探究

变式题 2

C

[解析] 在竖直方向上,由 t=

2y 得 g

小球落到 B、 D 所需的时间比 t1∶t2∶t3= AB∶ AC∶ C、 AD= 1∶ 1+3∶ 1+3+5=1∶2∶3;在水*方向上, x x x x 由 v= 得:v1∶v2∶v3= ∶ ∶ =6∶3∶2. t t1 t2 t3

第23讲 │ 要点探究
? 探究点二 *抛运动与斜面结合问题

*抛运动与斜面结合问题,一般是研究物体从斜面顶端*抛到落回 斜面的运动过程, 解决这类问题一般仍是在水*和竖直方向上分解(有些 题目在沿斜面和垂直斜面两个方向上分解求解更为简便,但这相当于求 解斜抛运动, 一般不做要求). 求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关 联而给出的隐含条件.最重要的状态是物体落回斜面和速度与斜面*行 两个时刻,这两个状态典型的运动特征如下: 1.从斜面开始*抛并落回斜面的时刻 (1)全过程位移的方向沿斜面方向, 即竖直位移与水*位移之比等于 斜面倾角的正切. (2)竖直速度与水*速度之比等于斜面倾角正切的两倍.

第23讲 │ 要点探究
2.速度与斜面*行的时刻 (1)竖直速度与水*速度之比等于斜面倾角的正切. (2)该时刻是全运动过程的中间时刻. (3)该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为 1∶3. (4)该时刻之前与该时刻之后斜面方向上的位移之比不 是 1∶3. 还有一类问题是*抛后垂直撞击斜面(如例 2 变式题), 在撞击斜面的时刻:速度方向与水*方向的夹角与斜面的倾 角互余.

第23讲 │ 要点探究

例 2 如图 23-4 所示,斜面倾角为 θ,从此斜面上的 A 点以速度 v0 将一小球水*抛出,它落在斜面的 B 点处, 则小球从 A 点到 B 点的运动时间和从 A 点到离开斜面最 远处的运动时间之比为( ) A.2 B.2sinθ C.2cosθ D.2tanθ

第23讲 │ 要点探究

例2 =v0t1

A

[解析] 小球在水*方向做匀速直线运动, x

1 2 在竖直方向做自由落体运动,y= gt1 2 y 且 tanθ=x 2v0 由以上三式解得小球在空中的飞行时间 t1= g tanθ.

第23讲 │ 要点探究
如图所示,当小球的速度方向与斜面*行时,小球与 斜面间的距离最大. vy gt2 由速度的合成与分解得 tanθ=v = v0 x v0 小球在空中的运动时间 t2= g tanθ t1 所以 =2,可见 A 正确. t2

第23讲 │ 要点探究

[点 评 ] (1)注意斜面体本 身规格所 带来的隐含 条 件.物体在*抛过程中落到 B 点,水*位移和竖直位移 分别为斜面的底面长和斜面的高,由此就可以找到位移 及速度等物理量之间的关系.(2)当小球与斜面间的距离 最大时,速度的方向与斜面是*行的.

第23讲 │ 要点探究
[2010· 全国卷] 一水*抛出的小球落到一倾角为 θ 的 斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图 23-5 中虚线所示. 小球在竖直方向下落的距离与在水*方向通 过的距离之比为( ) A.tanθ B.2tanθ 1 C. tanθ 1 D. 2tanθ

第23讲 │ 要点探究
[解析] 如图所示,*抛的末速度与竖 v0 直方向的夹角等于斜面倾角 θ,有:tanθ= gt .下落高度 1 2 y gt2 1 y= gt 与水*射程 x=v0t 之比为x= = ,D 正 2 2v0t 2tanθ 确. D 变式题

第23讲 │ 要点探究
? 探究点三 涉及*抛运动的综合问题

涉及*抛运动的综合问题主要是以下几种类型: 1.*抛运动与其他运动形式(如匀速直线运动、竖直上抛运 动、自由落体运动、圆周运动等)的综合题目,在这类问题 的分析中要注意*抛运动与其他运动物体在时间上、位移 上、速度上的相关分析.

第23讲 │ 要点探究
2.多体*抛问题的分析要注意以下几点:(1)若两物体同时从同 一高度(或同一点)抛出,则两物体始终在同一高度,二者间距只决 定于两物体水*分运动;(2)若两物体同时从不同高度抛出,则两物 体高度差始终与抛出点高度差相同,二者间距由两物体水*分运动 和竖直高度差决定;(3)若两物体从同一点先后抛出,两物体竖直高 度差随时间均匀增大,二者间距决定于两物体水*分运动和竖直分 运动.

第23讲 │ 要点探究

3.对斜抛物体的运动问题, 利用运动的对称性和可逆 性通过*抛的知识求解,例如斜抛运动在最高点可以用 两个对称的*抛运动进行处理,应注意对整个物理过程 进行正确的分析,形成清晰的物理情景.

第23讲 │ 要点探究
例 3 抛体运动在各类体育运动项目中很常见, 如乒乓球运 动.现讨论乒乓球发球问题,设球台长 2L、网高 h,乒乓球反 弹前后水*分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反,且 不考虑乒乓球的旋转和空气阻力.(设重力加速度为 g) (1)若球在球台边缘 O 点正上方高度为 h1 处以速度 v1 水* 发出,落在球台的 P1 点(如图 23-6 中实线所示),求 P1 点距 O 点的距离 x1; (2)若球在 O 点正上方以速度 v2 水*发出, 恰好在最高点时 越过球网落在球台的 P2 点(如图 23-6 中虚线所示), v2 的大小; 求 (3)若球在 O 点正上方水*发出后,球经反弹恰好越过球网 且刚好落在对方球台边缘 P3 处,求发球点距 O 点的高度 h3.

第23讲 │ 要点探究

第23讲 │ 要点探究

例3

(1)v1

2h1 g

L g (2) 2 2h 4 (3) h 3
[

第23讲 │ 要点探究
[解析] (1)如图甲所示,设发球时飞行时间为 t1,根据* 抛运动得

1 h1= gt2 2 1 x1=v1t1 解得 x1=v1 2h1 g

第23讲 │ 要点探究
(2)如图甲所示,设发球高度为 h2,飞行时间为 t2,同理根据*抛运 动得 1 2 h2= gt2 2 x2=v2t2 且 h2=h,2x2=L, L g 得 v2= 2 2h (3)如图乙所示,设发球高度为 h3,飞行时间为 t3,同理根据*抛运 动得 1 h3= gt2 2 3 x3=v3t3 且 3x3=2L.

第23讲 │ 要点探究

设球从恰好越过球网到最高点的时间为 t,水*位移为 1 2 x,有 h3-h= gt ,x=v3t,由几何关系知,x3+x=L. 2 4 解得 h3= h. 3

第23讲 │ 要点探究

[点评] 本题充分利用了运动的对称性和可逆性的原 理,把小球的运动过程简化为三个*抛运动的组合,利用 题目中的“边缘”和“最高”“恰好”等关键词语判断出 临界的条件,利用*抛运动的特点进行处理.

第23讲 │ 要点探究

[2011·铭选中学] 一同学在玩闯关类的游戏,他站在如图23-7所 示的*台的边缘,想在2 s内水*跳离*台后落在支撑物P上,人 与P的水*距离为3 m,人跳离*台的最大速度为6 m/s,则支撑 物距离人的竖直高度不可能为(g=10 m/s2)( ) A.1 m

B.9 m
C.17 m D.20 m

第23讲 │ 要点探究

变式题 A [解析] 人以最大速度跳离*台时,用时 0.5 s,下落的高度为 h=1.25 m;在 2 s 内,下落的最大高 度为 20 m, 人要跳到 P 上, 高度差满足 1.25 m≤h≤20 m, 故选 A.

第23讲 │ 要点探究
? 探究点四 类*抛运动问题

*抛物体的运动是一种典型的匀变速曲线运动, 如果物体所受的恒力并 非重力,但其初速度也与加速度垂直,该物体运动也是匀变速曲线运动,其 轨迹也是抛物线,其运动规律与*抛运动很类似,我们称之为“类*抛运 动”.如小球在光滑斜面上沿水*方向、沿斜面抛出后在斜面方向上的运动 (如例 4 变式题),带电粒子在匀强电场中的偏转(后续复*). 求解这类问题的关键是准确分析运动的性质, 一旦确定符合类*抛运动 的条件,就可以方便地利用*抛运动的基本规律和求解技巧求解.值得注意 的是,类*抛运动的加速度不是重力加速度.

第23讲 │ 要点探究
例 4 质量为 m 的飞机以水*速度 v0 飞离跑道后逐渐 上升,若飞机在此过程中水*速度保持不变,同时受到重 力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不 含重力).今测得当飞机在水*方向的位移为 l 时,它的上 升高度为 h,如图 23-8 所示,求: (1)飞机受到的升力大小; (2)从起飞到上升到 h 高度的过程中升力所做的功及在 高度 h 处飞机的动能.

第23讲 │ 要点探究
2 ? 2hv0? (1)mg?1+ 2 ? ? gl ? ? ?

例4

? 2h2v2? 0 (2)mg?h+ 2 ? ? gl ? ? ?

1 2? 4h2? mv0?1+ l2 ? 2 ? ?

第23讲 │ 要点探究

[解析] (1)水*方向上飞机速度不变,有:l=v0t, 1 2 竖直方向上飞机加速度恒定,有:h= at , 2 2hv2 0 解以上两式得:a= 2 , l 根据牛顿第二定律得: 2 ? 2hv0? F=mg+ma=mg?1+ 2 ?. ? gl ? ? ?

第23讲 │ 要点探究

(2)从起飞到上升至 h 高度的过程中,升力做的功为: ? 2h2v2? 0? ? W=Fh=mg?h+ 2 ?. gl ? ? 飞机在 h 处竖直分速度为: 2hv0 vy=at= 2ah= l , 所以,在此时飞机的动能为: 4h2? 1 2 1 2 1 2? Ek= mv0+ mvy = mv0?1+ l2 ?. 2 2 2 ? ?

第23讲 │ 要点探究

[点评] 类*抛运动是指物体受恒力作用且恒力与 初速度方向垂直的运动,其运动规律与*抛运动的规律 相同,处理方法与*抛运动问题的处理方法亦相同. [特别提醒] 对类*抛运动的分解不一定按竖直方 向和水*方向进行分解,而是按初速度方向和所受合外 力的方向来分解.

第23讲 │ 要点探究
如图 23-9 所示,光滑斜面的倾角为 θ,斜边长 为 L,斜面顶端有一小球以*行底边的速度 v0 水*抛 出.则小球滑到底端时,水*方向的位移为多大?小 球到达斜面底端时的速度为多大?

第23讲 │ 要点探究

变式题 1

v0

2L gsinθ

v2+2gLsinθ 0

第23讲 │ 要点探究
[解析] (1)将小球的运动分解为以下两个分运动: ①在斜面上小球沿 v0 方向做匀速运动,则在水*方向上有 x=v0t. ②沿斜面垂直 v0 方向做初速度为零的匀加速直线运动. 由牛顿第二定律 mgsinθ=ma,加速度 a=gsinθ 1 2 沿斜面向下有 L= at 2 2L 解得运动时间 t= gsinθ 2L 联立解得 x=v0 . gsinθ

第23讲 │ 要点探究

(2)设小球运动到斜面底端时的速度为 v,由动能定 1 2 1 2 理得 mgLsinθ= mv - mv0 2 2 2 解得 v= v0+2gLsinθ.

第23讲 │ 要点探究

如图23-10所示,两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一 水*面上,两斜面间距大于小球直径,斜面高度相等.有三个完全 相同的小球a、b、c,开始均静止于同一高度处,其中b小球在两斜 面之间,a、c两小球在斜面顶端.若同时释放a、b、c,小球到达 该水*面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水*方向抛出,初速度方 向如图23-10所示,到达水*面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于 时间的关系不正确的是( ) A.t1>t3>t2 B.t1=t1′,t2=t2′,t3=t3′ C.t1′>t3′>t2′

D.t1<t1′,t2<t2′,t3<t3′

第23讲 │ 要点探究
[解析] 由静止释放三小球时 h 1 8h 2 2 对 a: = gsin30°t1,则 t1= g . · sin30° 2 1 2 2h 2 对 b:h= gt2,则 t2= g . 2 h 1 4h 2 2 对 c: = gsin45°t3,则 t3= g . · sin45? 2 所以 t1>t3>t2. 当*抛三小球时:小球 b 做*抛运动,竖直方向运动 情况同第一种情况,小球 a、c 在斜面内做类*抛运动, 沿斜面向下方向的运动同第一种情况,所以 t1=t1′,t2= t2′,t3=t3′.故选 D. D

第24讲 │圆周运动的基本概念与规律

第24讲

圆周运动的基本概念与规律

第24讲 │ 编读互动 编读互动
1.圆周运动的基本概念、竖直面内的圆周运动是高考的热点,由于向心 力的计算只限于一条直线上的力合成的情况,高考命题常以竖直*面轨道的最 高点和最低点为背景,结合能量观点与电场、磁场知识并且综合考查牛顿运动 定律、抛体规律等方面的知识进行命题,难度一般较大,且多涉及临界问题. 2.本讲从描述圆周运动的几个物理量及圆周运动的模型入手,探究匀变 速圆周运动、变速圆周运动中力和运动的关系,圆周运动的临界问题也是本讲 的重点. (1)例 1 和变式题是对圆周运动各物理量之间的关系及传动问题的简单应 用,以加深对描述圆周运动的基本物理量的理解和巩固. (2)例 2 和变式题是对向心力来源的判定,体现动力学的基本思路,复*圆 周运动的动力学知识. (3)例 3 和变式题是圆周运动的临界问题, 圆周运动的临界问题和牛顿定律 中的临界问题很类似,注意知识的迁移. (4)例 4 和变式题是汽车过桥问题的分析, 汽车过桥问题是圆周运动的重要 实例.

第24讲 │ 考点整合 考点整合
一、匀速圆周运动 1.定 义: 物体在任意相等的时间内通过的圆弧长 度相等的圆周运动. 2.描述量 (1)线速度:①物理意义:描述质点做圆周运动的运 快慢 动________. ②方向:质点在圆弧上某点的线速度方向沿该点的 切线 ________方向. Δl ③大小:v= (Δl 是 Δt 时间内通过的弧长) Δt

第24讲 │ 考点整合
(2)角速度①物理意义:描述质点绕圆心转动的 快慢 ________. 是连接质点和圆心的半 径在 Δt 时间内转过的角度),单位为 rad/s. (3)周期 T,频率 f. (4)向心加速度:①物理意义:描述线速度方向改变 的快慢.
4π2 v2 r ω2r T2 ②大小:a=________=________=________= r 4π2f2r ________ . 圆心 ③方向:总是指向________. Δθ Δt ②大小:ω=________(Δθ

第24讲 │ 考点整合
向心 (5)向心力:①作用效果:产生________加速度,只改 方向 大小 变线速度的________,不改变线速度的________.因此,向 心力不做功. ②大小:F=________=________=________. ③方向:总是沿半径指向圆心,向心力是变力.

(6)描述量间的关系 T=________, ω=________=________, v=________ =________=________. 3.特 点:匀速圆周运动是一个角速度、周期、频 率不变,线速度、向心加速度、向心力时刻改变的曲线运 动.

第24讲 │ 考点整合
二、匀速圆周运动中的动力学关系 1.规 律:物体所受合外力提供向心力. 2.关系式:F 合=F 向或 F 合=________=________=________. 三、离心运动与向心运动 1.离心运动与向心运动 消失 做匀速圆周运动的物体,当向心力突然________或合外力不足 离心 以提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动,叫________运 动;做匀速圆周运动的物体,当其所受指向圆心的合外力突然变大 向心 时而产生的物体逐渐靠*圆心的运动,叫________运动.

第24讲 │ 考点整合
2.离心与向心运动的条件 (1)当 F 合=F 向,即物体所受指向圆心的合外力等于物 圆周 体做圆周运动所需要的向心力时,物体做________运动. (2)当 F 合<F 向, 即物体所受合外力小于物体做圆周运动 离心 所需要的向心力时,物体沿曲线逐渐远离圆心做________ 运动.若向心力突然消失,则物体沿着其所在位置圆周 切线 ________远离圆心运动. (3)当 F 合>F 向, 即物体所受合外力大于物体做圆周运动 向心 所需要的向心力时,物体做________运动.

第24讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点一 圆周运动中运动学问题

分析涉及圆周运动的运动学问题,关键要把握好两个方 面:其一,准确理解描述圆周运动的物理参量及其定量关系; 其二,注重理论结合实际,准确掌握涉及圆周运动的传动方 式.

第24讲 │ 要点探究

1.描述圆周运动的物理量

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

2.涉及圆周运动的传动方式图解

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究
例 1 如图 24-1 所示为一皮带传动装置,右轮的半径为 r,a 是它边缘上的一点,左侧是一轮轴,大轮的半径为 4r,小轮 的半径为 2r,b 点在小轮上,到小轮中心的距离为 r,c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上. 若在转动过程中, 皮带不打 滑,则( ) A.a 点与 b 点的线速度大小相等 B.a 点与 b 点的角速度大小相等 C.a 点与 c 点的线速度大小相等 D.a 点与 d 点的线速度大小相等

第24讲 │ 要点探究

C [解析] a、c 是皮带连接的两轮边缘上的点, 线速度大小相等,故 C 正确;设 a 点线速度为 v,则 c 点 线速度也为 v,对 c 点,v=2rω,对 b 点,vb=rω,则 v =2vb,故 A 错;又 v=rωa,vb=rωb,则 ωa=2ωb,故 B 错;对 d 点 vd=4rω=2v,则 vd=2va,所以 a 点与 d 点的 线速度大小不相等,故 D 错误.
例1

第24讲 │ 要点探究

[点评] 相关联物体的圆周运动问题,应注意以下两点: (1)固定在一起共轴转动的物体上各点的角速度相等;(2)不 打滑的摩擦传动、皮带轮传动、齿轮传动的两轮边缘上各 点的线速度大小相等.通过下面的变式题巩固以上两点.

第24讲 │ 要点探究
[2011· 福州三中] 如图 24-2 所示, 在验证向心力公式的实验中, 质量相同的钢球①放在 A 盘的边缘, 钢球②放在 B 盘的边缘, A、 B 两盘的半径之比为 2∶1.a、b 分别是与 A 盘、B 盘同轴的轮, a 轮、b 轮半径之比为 1∶2.当 a、b 两轮在同一皮带带动下匀速 转动时,皮带不打滑,且钢球①、②相对盘静止,则钢球①、② 所需向心力之比为( ) A.2∶1 B.4∶1 C.1∶4 D.8∶1

第24讲 │ 要点探究

D [解析] a、b 两轮在同一皮带带动下匀 速转动,说明 a、b 两轮的线速度相等,即 va=vb,又 ra∶rb=1∶2,由 v=rω 得:ωa∶ωb=2∶1,又由 a 轮 与 A 盘同轴,b 轮与 B 盘同轴,则 ωa=ωA,ωb=ωB, F1 mrAω2 8 A 根据向心力公式 F 向=mrω2 得 = 2 = .所以 D 项 F2 mrBωB 1 正确.
变式题

第24讲 │ 要点探究

?

探究点二

圆周运动中动力学问题

1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的力,可以是重力、 弹力、摩擦力等各种性质的力,也可以是几个力的合力 或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加 一个向心力. 下表中是几种常见向心力来源图示,供大家参考.

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

2. 向心力的确定 首先确定圆周运动的轨道所在的*面,找出轨道圆 心的位置,然后分析圆周运动物体所受的力,并作出受 力图,最后找出这些力指向圆心方向的合力就是向心 力.当分析向心力的来源采用正交分解法时,做圆周运 动的物体在坐标原点,一定有一个坐标轴沿着半径指向 圆心.

第24讲 │ 要点探究
3. 圆周运动中向心力的分析 ①匀速圆周运动:物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就 是向心力,向心力大小不变,方向与速度方向垂直且指向圆心, 这是物体做匀速圆周运动的条件. ②变速圆周运动:在变速圆周运动中,合外力不仅大小随时间 变化,其方向也不沿半径方向指向圆心.合外力沿半径方向的分 力提供向心力,使物体产生向心加速度,改变速度的方向;合外 力沿轨道切线方向的分力,使物体产生切向加速度,改变速度的 大小.

第24讲 │ 要点探究
例 2 有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图 24-3 所示, 长为 L 的钢绳一端系着座椅, 另一端固定在 半径为 r 的水*转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直 轴转动.当转盘以角速度 ω 匀速转动时,钢绳与转轴在 同一竖直*面内,与竖直方向的夹角为 θ.不计钢绳的重 力,求转盘转动的角速度 ω 与夹角 θ 的关系.

第24讲 │ 要点探究

gtanθ 例 2 ω= r+Lsinθ [解析] 设转盘转动的角速度为 ω 时,钢绳与竖直方向的夹 角为 θ. 座椅到中心轴的距离:R=r+Lsinθ 对座椅分析有:F 向=mgtanθ=mRω2 gtanθ 联立两式得 ω= r+Lsinθ

第24讲 │ 要点探究

[点评] 做圆周运动的物体必受向心力作用,对于匀 速圆周运动,其合力即为向心力.在本题中,向心力是 由重力与绳拉力的合力提供,匀速圆周运动的半径由两 部分组成,即座椅到中心轴的距离:R=r+Lsinθ.

第24讲 │ 要点探究

[2010 ·临沂模拟] 如图24-4所示,某同学用硬塑料管和一 个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动,将螺丝帽套在塑 料管上,手握塑料管使其保持竖直并沿水*方向做半径为r的 匀速圆周运动,则只要运动角速度大小合适,螺丝帽恰好不下 滑.假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ,认为最大静摩 擦力*似等于滑动摩擦力.在该同学手转动塑料管使螺丝帽恰 好不下滑时,下述分析正确的是( )

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

变式题 1 A [解析] 由于螺丝帽做圆周运动过程 中恰好不下滑,则竖直方向上重力与最大静摩擦力*衡, 杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力,有 g 2 mg=f=μN=μmω r,得 ω= μr,选项 A 正确,B、C 错误;杆的转动速度增大时,杆对螺丝帽的弹力增大,最 大静摩擦力也增大, 螺丝帽不可能相对杆发生运动, 故选 项 D 错误.

第24讲 │ 要点探究
[2010·厦门大学附中] 质量不计的轻质弹性杆P部分插入桌面 上小孔中,杆另一端套有质量为m的小球,今使小球在水*面 内做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动,如图24-5所示, 则杆的上端受到球对它的作用力大小为( ) A.mω2R C.mg+mω2R B.mg

第24讲 │ 要点探究

变式题 2 B [解析] 对小球进行受力分析,小球 受重力和杆对小球的作用力,合力提供向心力,由题意 知,小球所受合力在水*方向,合力大小为 mω2R,即重 力和杆对球的作用力的合力在水*方向,大小为 mω2R, 根据力的合成得 F=m g2+ω4R2.

第24讲 │ 要点探究

?

探究点三

竖直*面内的圆周运动(绳球模型、杆球模型)

只在重力场中竖直面内的圆周运动是典型的非匀速圆周运 动, 对于物体在竖直*面内做圆周运动的问题, 中学物理只研究 物体通过最高点和最低点的情况, 并且高考中涉及圆周运动知识 点大多是临界问题, 其中竖直面上线—球模型、 杆—球模型圆周 运动的临界问题出现的频率非常高, 可以出现在选择题, 甚至出 现在计算题中, 要求考生必须准确理解和掌握. 下面是竖直面内 两个常见临界模型的比较.

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究
在小球通过最高点时存在临界状 态:小球到达最高点时绳子的拉力(或轨 道的弹力)刚好等于零,小球的重力刚好 v2 0 提供做圆周运动的向心力,即 mg=m r . 式中的 v0 是小球通过最高点的最小速 度, 通常叫临界速度, 0= rg.相关讨论 v 如下: ①当小球通过最高点的速度 v=v0 时,小球的重力刚好提供做圆周运动的 向心力; ②当小球通过最高点的速度 v<v0 时,小球不能在竖直面内做完整的圆周 运动; ③当小球通过最高点的速度 v>v0 时,小球能在竖直面内做完整的圆周运 动,且绳子有拉力.

定 量 分 析

在小球通过最高点时存 在以下几种情况(其中 v0= rg): ①当小球通过最高点 的速度 v=v0 时,小球的重 力刚好提供做圆周运动的向 心力; ②当小球通过最高点 的速度 v<v0 时,小球通过 最高点时,杆对小球有向上 的支持力 ③当小球通过最高点 的速度 v>v0 时, 小球通过最 高点时,杆对小球有向下的 拉力.

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究
例3 晓明站在水*地面上,手握不可伸长的轻绳一端, 绳的另一端系有质量为 m 的小球,甩动手腕,使球在竖直*面 内做圆周运动,当球某次运动到最低点时,绳突然断掉.球飞 离水*距离 d 后落地,如图 24-6 所示.已知握绳的手离地面 3 高度为 d,手与球之间的绳长为 d,重力加速度为 g,忽略手的 4 运动半径和空气阻力. (1)求绳断时球的速度大小 v1 和球落地时的速度大小 v2. (2)问绳能承受的最大拉力为多大? (3)改变绳长,使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低 点时断掉,要使球抛出的水*距离最大,绳长应为多少?最大 水*距离为多少?

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

例3

(1) 2gd (3) d 2

11 (2) mg 3

5 gd 2 2 3 d 3

第24讲 │ 要点探究

[解析] (1)设绳断后球飞行时间为 t,由*抛运动规律, 1 1 竖直方向 d= gt2 4 2 水*方向 d=v1t, 联立解得 v1= 2gd. ? 3 ? 1 2 1 2 由机械能守恒定律,有 mv2= mv1+mg?d-4d? 2 2 ? ? 5 解得 v2= gd. 2

第24讲 │ 要点探究
(2)设绳能承受的拉力大小为 T,这也是球受到绳的最大拉 力. 3 球做圆周运动的半径为 R= d 4 对小球运动到最低点,由牛顿第二定律和向心力公式有 T 2 mv1 -mg= R , 11 联立解得 T= mg. 3 (3)设绳长为 L,绳断时球的速度大小为 v3,绳承受的最大 拉力不变,有 2 mv3 T-mg= L 8 解得 v3= gL. 3

第24讲 │ 要点探究
绳断后球做*抛运动,竖直位移为 d-L,水*位移为 1 2 x,飞行时间为 t1,根据*抛运动规律有 d-L= gt1,x= 2 v3t1 ? ? L??d-L?? 联立解得 x=4 3 d 2 3 当 L= 时,x 有极大值,最大水*距离为 xmax= d. 2 3

第24讲 │ 要点探究

[点评] 此题将竖直面内的圆周运动和*抛运动有机结合, 涉及的知识点有*抛运动规律、牛顿运动定律、机械能守恒定 律、极值问题等,考查综合运用知识能力.

第24讲 │ 要点探究
[2011·厦门模拟] 湖南省电视台“智勇大冲关”游乐节目中,选手 需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上,小明和小阳观看 后对此进行了讨论.如图24-7所示,他们将选手简化为质量m =60 kg的质点,选手抓住绳子末端由静止开始摆动,此时绳与 竖直方向夹角α=53° ,绳长l=2 m的悬挂点O距水面的高度为H =3 m.不考虑空气阻力和绳的质量,浮台露出水面的高度不计, 水足够深.取g=10 m/s2,sin53° =0.8,cos53° =0.6.求: (1)选手摆到最低点时对绳拉力F的大小;

(2)选手摆到右边最高点时松手,设水对选手的*均浮力f1=800 N,*均阻力f2=700 N,求选手落入水中的深度d;
(3)若要求选手摆到最低点时松手,且运动到浮台处离岸水*距 离最大,则选手实际的摆线长度l1应为多少?

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

变式题

(1)1080 N

(2)1.2 m (3)1.5 m

第24讲 │ 要点探究
[解析] (1)选手从最高点摆到最低点的过程中,由 机械能守恒: 1 2 mgl(1-cosα)= mv 2 v2 在最低点:F-mg=m l 联立上两式解得:F=1080 N (2)选手从右边最高点开始做自由落体运动, 然后 再进入水中,由动能定理: mg(H-lcosα+d)-(f1+f2)d=0-0 所以,解得:d=1.2 m

第24讲 │ 要点探究
(3)设选手摆动时的摆长为 l1,则从最高点摆至最低 点的过程,由机械能守恒: 1 2 mgl1(1-cosα) = mv1 2 所以得:v1= 2gl1?1-cosα? 1 2 当选手在做*抛运动时,在竖直方向上:H-l1= gt 2 2?H-l1? 解得:t= g 在水*方向上: 2?H-l1? s=v1t= 2gl1?1-cosα? =2 0.4l1?3-l1? g 所以,当 l1=1.5 m 时,s 有最大值.

第24讲 │ 要点探究

例 4 一辆质量 m=2.0 t 的小轿车驶过半径 R=90 m 的一段圆弧形桥面,取 g=10 m/s2.问: (1)若桥面为凹形, 汽车以 20 m/s 的速度通过桥面最低 点时,对桥面的压力是多少? (2)若桥面为凸形, 汽车以 10 m/s 的速度通过桥面最高 点时,对桥面的压力是多少? (3)汽车以多大的速度通过凸形桥面顶点时,对桥面刚 好没有压力?

第24讲 │ 要点探究

例 4 (1)2.89×104 N (2)1.78×104 N (3)30 m/s [解析] (1)汽车通过凹形桥面的最低点时,在水*方向 上受到牵引力 F 和阻力 f 的作用,在竖直方向上受到

第24讲 │ 要点探究
桥面向上的支持力 F N1 和向下的重力 G=mg 的作用, 如图所示. 圆 弧形轨道的圆心在汽车的正上方, 支持力 F N1 与重力 G=mg 的合力为 F N1-mg,这个合力就是汽车通过桥面的最低点时的向心力,即 F 向=F N1 v2 -mg.由向心力公式有:F N1-mg=m , R v2 解得桥面对汽车的支持力大小为:F N1=m +mg=2.89×104 N. R 根据牛顿第三定律知,汽车行驶在桥面最高点时对桥面的压力大小 是 2.89×104 N. (2)汽车通过凸形桥面最高点时, 在水*方向上受到牵引力 F 和阻力 f 的作用,在竖直方向上受到竖直向下的重力 G=mg 和桥面向上的支持 力 FN2 的作用,圆弧形轨道的 圆心在汽车的正下方, 重力 G=mg 与支持力 FN2 的合力为 mg-FN2, 这个合力就是汽车通过桥面最高点时的向心力,即:F 向=mg-FN2. v2 由向心力公式有:mg-FN2=m , R

第24讲 │ 要点探究
v2 桥面的支持力大小为:FN2=mg-m =1.78×104 N. R 根据牛顿第三定律知, 汽车行驶在桥面最高点时对桥面的压力 大小是 1.78×104 N. (3)设汽车的速度为 vm 时,汽车通过凸形桥面顶点时对桥面的 压力为零.根据牛顿第三定律,这时桥面对汽车的支持力也为零, 汽车在竖直方向上只受到重力 G 的作用,重力 G=mg 就是汽车驶 v2 m 过桥顶点时的向心力,即 F 向=mg,由向心力公式有:mg=m R , 解得 vm= gR=30 m/s. 所以汽车以 30 m/s 的速度通过凸形桥面的顶点时,对桥面刚 好没有压力.

第24讲 │ 要点探究

[点评] 从解题过程看,首先应当明确汽车的运动是匀 速圆周运动,时时刻刻汽车都在做变加速运动,任何一个 时刻或一个位置汽车所处的状态都不是*衡状态;其二应 当明确汽车的速率大小不变,汽车在沿轨迹切线的方向上 所受合力始终为零.也就是说:明确汽车的运动情况,抓 住“切向*衡”“法向有向心加速度”是解决这类问题的 关键.下面的变式题是临界过桥问题.

第24讲 │ 要点探究

如图 24-8 所示,有一质量为 M 的大圆环,半径为 R,被一轻杆固定后悬挂在 O 点,有两个质量为 m 的小 环(可视为质点),同时从大环两侧的对称位置由静止滑 下,两小环同时滑到大环底部时,速度都为 v,则此时 大圆环对轻杆的拉力大小为( ) v2 A.(2M+2m)G B.Mg-2m R ? ?v2 ? v2? ? ? ? C.2m?g+ ?+Mg D.2m? -g?+Mg ? R? ? ?R ?

第24讲 │ 要点探究

[解析] 两环在最低点受到重力和大环的 v2 弹力作用, FN-mg=m R 得大环对两小环的弹力都为 mg 由 v2 +m R .根据牛顿第三定律可知, 两环对大环向下的弹力也都 v2 为 mg+m R .以大环为研究对象,由力的*衡可求出轻杆对 ? v2 ? 大环的拉力为 2m?g+ ?+Mg,即大环对轻杆的拉力也为 ? R? ? ? ? v2? 2m?g+ ?+Mg,选项 C 正确. ? R? ? ? C

变式题

第24讲 │ 要点探究

特别提醒: 做变速圆周运动的物体处于某些特殊位 置时, 其合外力指向圆心, 即物体的加速度没有沿轨道 切线方向的分量, 只有向心加速度分量. 如小球在细线 的拉力作用下绕固定点在竖直*面内的圆周运动, 在最 高点和最低点两个位置,小球受到的合力就是向心力.

第24讲 │ 要点探究
? 探究点四 匀速圆周运动的临界问题

圆周运动中临界问题的分析, 首先应考虑达到临界条件时物体 所处的状态,然后分析该状态下物体的受力特点,结合圆周运动 的知识,综合解决问题. 1.在竖直面内做圆周运动的物体 在竖直面内圆周运动的最高点,当没有支撑面(点)时,物体速度 的临界条件:v 临= Rg.绳与小球的情况即为此类临界问题,因为 绳只能提供拉力而不能提供支持力. 在竖直面内圆周运动的最高点,当有支撑面(点)时,物体的临界 速度:v 临=0.杆与球的情况为此类临界问题,因为杆既可以提供 拉力,也可提供支持力或侧向力.

第24讲 │ 要点探究

2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时,常会 出现临界值问题. 3.当绳子在绷紧状态和松弛状态之间发生转换时,也 会存在临界条件.

第24讲 │ 要点探究
例 5 [2011· 安溪一中] 如图 24-9 所示,细绳一端系着质量

为 M 的物体(可视为质点), 另一端通过光滑小孔吊着质量为 m 的物体(可视为质点).已知 M 与圆孔 O 距离为 r,M 和水 *面的最大静摩擦力为 f.现使 M 和*面 S 绕中心竖直转轴 OO′一起转动,已知最大静摩擦力 f<mg,则: (1)当角速度 ω 等于多少时,M 与*面 S 之间没摩擦? (2)为了保证 M 和*面 S 相对静止, 求角速度 ω 的取值范围.

第24讲 │ 要点探究
mg Mr mg-f Mr ≤ω≤ mg+f Mr

(1)

(2)

第24讲 │ 要点探究

[解析] (1)当 M 与*面 S 之间没摩擦时, 细绳对 M 的拉力 F 用来提供向心力,即 F=Mrω2 又 m 处于静止状态,所以 F=mg 由以上两个式子可得 mg ω= Mr

第24讲 │ 要点探究
(2)为了保证 M 和*面 S 相对静止, 需要的向心力由绳拉 M 力和静摩擦力的合力提供.角速度取最大值,M 有离心趋势, 静摩擦力指向圆心 O;角速度取最小值时,M 有向心运动的趋 势,静摩擦力背离圆心 O. 对 m:F=mg 对于 M: F+f=Mrω2,F-f=Mrω2 1 2 mg+f mg-f 解得 ω1= Mr ,ω2= Mr mg-f mg+f 所以 Mr ≤ω≤ Mr

第24讲 │ 要点探究

如图 24-10 所示, 把一个质量 m=1 kg 的物体通过两根 等长的细绳与竖直杆上 A、B 两个固定点相连接,绳 a、 b 长都是 1 m,杆上 AB 长度是 1.6 m,直杆和球旋转的 角速度为多少时,b 绳上才有张力?

第24讲 │ 要点探究
变式题 ω>3.5 rad/s [解析] 如图所示,a、b 两绳都 伸直时,已知 a、b 绳长均为 1 m,即 1 AD=BD=1 m,AO= AB=0.8 m 2 AO 0.8 在△AOD 中,cosθ=AD= =0.8 1 sinθ=0.6,θ=37° 小球做圆周运动的轨道半径 r=OD=AD· sinθ=0.6 m.

第24讲 │ 要点探究

b 绳被拉直但无张力时,小球所受的重力 mg 与 a 绳拉力 Fa 的合力 F 为向心力,其受力分析如图所示, 由图可知小球的向心力为 F=mgtanθ 根据牛顿第二定律得 F=mgtanθ=mrω2 解得直杆和球的角速度为 gtanθ ω= r = 12.5 rad/s≈3.5 rad/s. 当直杆和球的角速度 ω>3.5 rad/s 时,b 中才有张 力.

第24讲 │ 要点探究
? 探究点五 圆周运动与*抛运动、动能定理的结合
例6 [2010· 同安一中] 如图 24-11 所示, 一个质量为 0.6 kg 的小球以某一初速度从 P 点水*抛出, 恰好从光滑圆弧 ABC 的 A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力,进入圆弧时无机械能损 失).已知圆弧的半径 R=0.3 m,θ=60° ,小球到达 A 点时的速 度 vA=4 m/s.(取 g=10 m/s2)求: (1)小球做*抛运动的初速度 v0 大小; (2)P 点与 A 点的水*距离和竖直距离; (3)小球到达圆弧最高点 C 时对轨道的 压力大小

第24讲 │ 要点探究

(1)2 m/s

(2)0.69 m

0.6 m

(3)8 N

第24讲 │ 要点探究
[解析] (1)小球到 A 点的速度如图所示,由图可知

v0=vx=vAcosθ=4×cos60° m/s =2 (2)vy=vAsinθ=4×sin60° =2 3 m/s 由*抛运动规律得:v2=2gy y vy=gt x=v0t 解得 x=0.4 3 m≈0.69 m,y=0.6 m

第24讲 │ 要点探究

(3)取 A 点为重力势能的零点,由机械能守恒定律得: 1 2 1 2 mv = mv +mg(R+Rcosθ) 2 A 2 C 代入数据得:vC= 7 m/s v2 C 由圆周运动向心力公式得:NC+mg=m R 代入数据得:NC=8 N 由牛顿第三定律得:小球对轨道的压力大小 N′C=NC =8 N,方向竖直向上

第24讲 │ 要点探究
[2010· 福建模拟] 如图 24-12 所示,水*桌面上有 一轻弹簧, 左端固定在 A 点, 自然状态时其右端位于 B 点. 水 *桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道 MNP,其形状为半径 R =0.8 m 的圆环剪去了左上角 135° 的圆弧, 为其竖直直径, MN P 点到桌面的竖直距离也是 R.用质量 m1=0.4 kg 的物块将弹 簧缓慢压缩到 C 点,释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在 B 点.用同种材料、质量为 m2=0.2 kg 的物块将弹簧缓慢压缩 到 C 点释放, 物块过 B 点后其位移与时间的关系为 s=6t-2t2, 物块飞离桌面后由 P 点沿切线落入圆轨道.g=10 m/s2,求: (1)物块 m2 过 D 点时的速度; (2)BD 间的水*距离; (3)判断 m2 能否沿圆轨道到达 M 点; (4)释放后 m2 运动过程中克服摩擦力做的功.

第24讲 │ 要点探究

第24讲 │ 要点探究

(1)4 m/s

(2)2.5 m

(3)不能

(4)5.6 J

第24讲 │ 要点探究
[解析] (1)设物块 m2 由 D 点以初速度 vD 做*抛运动, 落到 P 点时其竖直速度为 vy= 2gR vy 由题意知v =tan45° D 得 vD=4 m/s (2)在桌面上过 B 点后初速度 v0=6 m/s, 加速度 a=-4 m/s2,减速到 vD,由运动学公式 v2-v2=2as 得 t 0 v2 -v2 D 0 BD 间位移为 s1= =2.5 m 2a

第24讲 │ 要点探究

(3)若物块 m2 能沿轨道到达 M 点,其速度为 vM, 由动能定理 1 1 2 2 2 m v - m v = m gR 2 2 D 2 2 M 2 2 v2 M 轨道对物块 m2 的压力为 N,则 N+m2g=m2 R 解得 N=(1- 2)m2g<0 故物块 m2 不能到达 M 点

第24讲 │ 要点探究

(4)设弹簧长为 AC 时的弹性势能为 Ep,物块 m2 与桌面间的动摩擦因数为 μ. 释放 m1 时,Ep=μm1gsCB 1 释放 m2 时,Ep=μm2gsCB+ m2v2 0 2 m1=2m2, 故 Ep=m2v2=7.2 0 m2 在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为 Wf, 1 则 Ep-Wf= m2v2 D 2 可得 Wf=5.6 J

第25讲 │万有引力与天体运动

第25讲

万有引力与天体运动

第25讲 │ 编读互动 编读互动
由于我国航天事业取得举世瞩目的成就,万有引力与航天 运动问题是*几年高考的重点,高考命题以选择题为主. 本讲的主要内容是开普勒定律、万有引力定律,万有引力 定律在天体运动中的应用是本讲重点,天体运动的最基本关系 是万有引力提供天体运动的向心力.因此应使学生明确,稳定 的天体运动一般可视为匀速圆周运动,向心力是由万有引力提 供的,进而结合向心力的不同表达式,推导出已知量和所求量 之间的关系. (1)通过例 1 和变式题要对万有引力定律的应用重点更明 确. (2)通过例 2 和变式题复*计算天体质量及密度. (3)通过例 3 和变式题复*行星和卫星的运动规律. (4)通过例 4 和变式题复*天体表面重力加速度的应用.

第25讲 │ 考点整合 考点整合
一、万有引力定律 1.定律内容:宇宙间的一切物质都是互相吸引的,两个物体 质量的乘积 距离的*方 间的引力的大小, 跟它们的________成正比, 跟它们的________ 成反比. m1m2 - G 2 2.公 式:F=________(其中 G=6.67×10 11 N· 2/kg2, m r 叫做引力常量). 3.适用条件:公式适用于质点间的相互作用. 当两个物体间 的距离远远大于物体本身的大小时, 物体可视为质点. 均匀的球 体视为质点时,r 是两球心间的距离.

第25讲 │ 考点整合
4.与天体有关的估算问题 在估算有关天体的一些物理量时应紧扣两个关键: ? ? v2 Mm ?2π?2 2 (1)掌握公式:F 向=G 2 =ma=m r =mω r=m? T ? r. r ? ? 匀速圆周 (2)掌握模型:将天体或卫星的运动看成________运动,其向心力由 万有引力 ________提供. 二、天体运动的模型(以人造地球卫星为例) v2 Mm 1.由 G 2 =m R 得 v= R Mm 2.由 G 2 =mω2R 得 ω= R Mm 4π2 3.由 G 2 =m 2 R 得 T= R T GM R ,所以,R 越大,v 越小. GM ,所以,R 越大,ω 越小. R3 4π2R3 GM ,所以,R 越大,T 越大.

第25讲 │ 考点整合
4.模型总结: (1)当卫星稳定运行时, 轨道半径 R 越大, 小 小 大 v 越________,ω 越________,T 越________,万有引力越 小 小 ________,向心加速度越________. (2)同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速 度、周期、向心加速度均相等. (3)这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题 中很有用.

第25讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点一 关于万有引力的计算
1.万有引力的适用条件:万有引力不仅存在于星球之间,宇宙中 任意客观存在的有质量的物体之间都存在这种相互吸引力. 万有引力 定律公式适用于质点之间,也适用于均匀球体之间. 2.万有引力的特点: 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反 作用力,它们大小相等,方向沿两物体的连线且相反,分别作用在两 个物体上,其作用效果一般不同,分别体现在受力物体上.

第25讲 │ 要点探究

m 1m 2 万有引力公式 F=G 2 中的 r 应为两物体球心间距,如果某 r 一物体内部存在球形空腔问题,则宜采取“割补法”分析.

第25讲 │ 要点探究
例 1 “嫦娥一号”探月卫星以圆形轨道绕月飞行,卫星 将获取的信息以微波信号发回地球,假设卫星绕月的轨道 *面与地月连心线共面,各已知物理量如下表所示:

(1)“嫦娥一号”在奔月过程中受地球和月球引力相等时离 月球面的高度为多少? (2)“嫦娥一号”绕月球一周所用的时间为多少?

第25讲 │ 要点探究

例1

r m (1) -R1 M+ m

2πr1 (2) rg R1g1 1 1

第25讲 │ 要点探究

[解析] (1)设卫星质量为 m′,由万有引力定律得: Mm′ mm′ 卫星受地球和月球引力相等时有: G 2 =G 2 L1 L2 又因为:L1+L2=r,卫星到月球表面的距离为:h =L2-R1 r m 由上各式解得 h= -R1 M+ m

第25讲 │ 要点探究

mm′ (2)由月球对卫星的万有引力提供向心力得:G 2 r1 ?2π? =m′? T ?2r1 ? ? mm′ 在月球表面有:G =m′g1 R2 1 2πr1 解得绕月球一周所用的时间为:T= rg R1g1 1 1

第25讲 │ 要点探究

[点评] “嫦娥一号”探月卫星*似以圆形轨道绕月 飞行,可认为是做匀速圆周运动,月球对“嫦娥一号” 的万有引力就是其绕月飞行的向心力.

第25讲 │ 要点探究

如图 25-1 所示,在一个半径为 R、质量为 M 的均 R 质球体中,紧贴球的边缘挖去一个半径为 的球形空穴 2 后, 对位于球心和空穴中心连线上、 与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大?

第25讲 │ 要点探究

变式题

GMm?7d2-8dR+2R2? 2d2?2d-R?2

第25讲 │ 要点探究

[解析] 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小 球体和剩余部分对质点的引力之和. 其中完整的均质球体 Mm 对球外质点 m 的引力 F=G 2 可以看成是挖去球穴后的 d R 剩余部分对质点的引力 F1 与半径为 的小球对质点的引 2 力 F2 之和,即 F=F1+F2.

第25讲 │ 要点探究
R 4 ?R? 3 4 ?R? 因 半 径 为 的小球质量为 M′ = π ? 2 ? · ρ= π ? 2 ? 2 3 ? ? 3 ? ? GM′m 1 GMm 3 M · = M,则 F2= ? R? = ? R? 4 3 8 ?d- ?2 πR 8?d- 2 ?2 2? 3 ? ? ? 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力 GMm GMm F1=F-F2= 2 - R2= d 8d- 2 GMm?7d2-8dR+2R2? . 2 2 2d ?2d-R?

第25讲 │ 要点探究
? 探究点二 天体表面的加速度

天体表面及其某一高度处的重力加速度的求法: 设天体表面的重力加速度为 g,天体半径为 R,则忽略天 GMm GM 体自转时,mg= 2 ,可得 g= 2 或 GM=gR2. R R GMm 若物体距天体表面高度为 h,则重力 mg′= 2,可 ?R+h? GM R2 得 g′= = · g. ?R+h?2 ?R+h?2

第25讲 │ 要点探究

例 2 [2011· 政和一中] 已知“嫦娥二号”航天器绕月球做 匀速圆周运动的环绕速度为 v,月球的半径为 R,航天器离 月球表面的高度为 h,求月球表面的重力加速度 g .(结果用 v、R、h 表示)

第25讲 │ 要点探究

例 2
2

v2?R+h? R2

[解析] 万有引力提供向心力,有

GMm mv = r ,其中 r=R+h r2 GMm 在月球球表面,有 =mg R2 v2?R+h? 得 g= R2

第25讲 │ 要点探究

[2010· 北京卷] 一物体静置在*均密度为 ρ 的球形天体表面 的赤道上.已知万有引力常量为 G,若由于天体自转使物 体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为( ) 4π A. 3Gρ 3 B. 4πGρ π C. Gρ 3π D. Gρ

第25讲 │ 要点探究

[解析] 本题考查万有引力定律的应 Mm 4π2r 4 3 用.由万有引力提供向心力得 G 2 =m 2 ,M= πρr , r T 3 代入数据,D 正确. D

变式题

第25讲 │ 要点探究
? 探究点三 公转问题的求解思路

解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动,其所 v2 Mm 需心力由万有引力提供,关系式:G 2 =m r =mω2r= r ?2π? m? T ?2r. ? ? (2)在地球表面或地面附*的物体所受的重力等于地球对 Mm 物体的引力, mg=G 2 .在不知地球质量的情况下可用 即 R 其半径和表面的重力加速度来表示.

第25讲 │ 要点探究
例 3 [2011· 厦门理工学院附中] “嫦娥一号”探月卫星在空中运 动的简化示意图如图 25-2 所示. 卫星由地面发射后, 经过发射轨 道进入停泊轨道, 在停泊轨道经过速后进入地月转移轨道, 再次调 速后进入工作轨道.已知卫星在工作轨道上运行的半径为 r,月球 半径为 R,地球表面重力加速度为 g,月球表面重力加速度是地球 1 表面重力加速度的 , 求卫星在工作轨道上运行的周期. 6

第25讲 │ 要点探究

2πR 例 3 gr 6gR [解析] 设在工作轨道上运行的周期 为 T,由牛顿第二定律得 ?2π? Mm G 2 =m? T ?2R R ? ? Mm g 又 G 2 =m r 6 24π2R3 2πR 故得 T= = gr 6gR gr2

第25讲 │ 要点探究

[2010· 厦门模拟] 2008 年 9 月 25 日, 我国利用“神舟七号”飞船 将航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏成功送入太空,9 月 26 日北 京时间 4 时零 4 分,神舟七号飞船成功变轨,由原来的椭圆轨道 变为距地面高度为 h 的圆形轨道.已知地球半径为 R,地球的质 量为 M,引力常量为 G, 则关于飞船在圆形轨道上运行的下列各 量表达正确的是( ) R+h GM A.线速度 v= B.周期 T=2π GM R+h GM GM C.向心加速度 a= D.角速度 ω= R+h R+h

第25讲 │ 要点探究

变式题

A

mv2 Mm [解析] 由 G 解得 v= 2= ?R+h? R+h

GM ,A 正确;同理可知 BCD 均错. R+h

第25讲 │ 要点探究
? 探究点四 万有引力的应用——人造卫星运行参数问题

围绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较

第25讲 │ 要点探究

第25讲 │ 要点探究
例 4 [2011· 福建模拟] 如图 25-3 所示,在同一轨道*面 上的三个人造地球卫星 A、B、C 在某一时刻恰好在同一直 线上,下列说法正确的是( ) A.根据 v= gr,可知 vA<vB<vC B.根据万有引力定律,FA>FB>FC C.向心加速度 aA>aB>aC D.运动一周后,C 先回到原地点

第25讲 │ 要点探究
v GMm [解析] 由 2 =m r =ma 可得:v= r
2

例 4

C

GM r ,故 vA>vB>vC,不可用 v= gr比较 v 的大小,因 GM 卫星所在处的 g 不同,A 错误;由 a= 2 ,可得 aA>aB> r GMm aC,C 正确;万有引力 F= 2 ,因不知各卫星的质量大小 r 2πr 关系,故无法比较 FA、FB、FC 的大小,B 错误;由 T= v 可知,C 的周期最大,最晚回到原地点,故 D 错误.

第25讲 │ 要点探究

[2010· 攀枝花模拟] “嫦娥一号”于 2009 年 3 月 1 日下午 4 时 13 分成功撞月,从发射到撞落历时 433 天,标志我国一 期探月工程圆满结束.其中,卫星发射过程先在*地圆轨 道绕行 3 周,再长途跋涉进入*月圆轨道绕月飞行.若月 1 球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的 ,月球半径 6 1 为地球半径的 ,据以上信息得( ) 4 A.绕月与绕地飞行周期之比为 2∶ 3 B.绕月与绕地飞行角速度之比为 2∶ 3 C.绕月与绕地飞行速度之比为 2∶ 3 D.绕月与绕地飞行速度之比为 1∶2 6

第25讲 │ 要点探究
M地 m v2 地 变式题 D [解析] 在*地圆轨道运行时 G 2 =m = R地 R地 M月 m v2 月 4π2 2 mω地R 地=m 2 R 地=mg 地,在*月圆轨道运行时 G 2 =m = T地 r月 r月 T月 4π2 2 mω 月 r 月 =m 2 r 月 =mg 月 ,绕月与绕地飞行周期之比为 = T月 T地 r月 g地 6 · = = 3∶ 2, A 错;绕月与绕地飞行角速度之比 4 R地 g月 ω月 R地 g月 4 为 = · = = 2∶ 3, 错; B 绕月与绕地飞行速度之 6 ω地 r月 g地 v月 g月 r月 1 比为 = = =1∶2 6, C 错、D 正确. v地 g地R地 6×4

第25讲 │ 要点探究
? 探究点五 万有引力的应用——中心天体质量及密度的计算

计算天体的质量和密度是高考考查天体运动的重点内容,解决此类问题 的关键就是明确中心天体对它的卫星(或行量)的引力就是卫星(或行星)绕中 心天体做匀速圆周运动的向心力. 4π2 4π2r3 3πr2 mM M M G 2 =m 2 r,由此可得:M= ;ρ= V = = (R 为行星 r T GT2 4 3 GT2R3 πR 3 的半径). 由上式可知,只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T,就可以算出天体的质量 M.若知道行星的半径,则可得行星的密度.如果 卫星接*天体表面绕中心天体做匀速圆周运动,则只需要测出卫星运动周期 即可求得中心天体的*均密度.

第25讲 │ 要点探究
例 5 [2010· 长沙模拟] 已知地球半径为 R,地球、月球球 心之间的距离为 r,月球公转周期为 T1,地球自转周期为 T2,在地球表面附*运行的人造卫星周期为 T3,万有引力 常量为 G,由以上条件可知( ) 4π2r3 A.地球的质量为 M= GT2 2 3π B.地球的密度为 ρ= 2 GT1 4π2R C.地表重力加速度为 g= 2 T1 4π2R3 D.月球运动的加速度为 a= 2 2 T3r

第25讲 │ 要点探究
例 5 D [解析] 本题考查万有引力定律和行星运动 的相关知识.月球围绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供 Mm 4π2 4π2r3 向心力,即 G 2 =m 2 r,可求得地球的质量为 M= 2, r T1 GT1 3π2r3 故 A 错误;进而求得地球的密度为 ρ= 3 2,故 B 错误; GR T1 地球表面及其附*的重力*似等于万有引力, 结合相关公式 4π2r3 可得 g= 2 2 ,故 C 错;考查地球表面附*的人造卫星,可 T 1R Mm′ 4π2 Mm 4π2R3 知G =m′ 2 R,结合 G 2 =ma 可得 a= 2 2 ,故 R2 T3 r T3r D 正确.

第25讲 │ 要点探究

[点评] 万有引力定律在天文上的典型应用就是计 算天体的质量、密度、半径,此时要紧扣两个关键: 一是紧扣一个物理模型: 就是将天体(或卫星)的运动看 成是匀速圆周运动;二是紧扣一个物体做圆周运动的 动力学特征,即天体(或卫星)的向心力由万有引力提 供.

第25讲 │ 要点探究

中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在 2017 年送机器 人上月球,实地采样送回地球,为载人登月及月球基地选址做准 备.设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行,飞船上 备有以下实验仪器:A.计时表一只,B.弹簧秤一把,C.已知质量 为 m 的物体一个,D.天*一只(附砝码一盒).在飞船贴*月球表 面时可*似看成绕月做匀速圆周运动, 宇航员测量出飞船在靠* 月球表面的圆形轨道绕行 N 圈所用时间为 t,飞船的登月舱在月 球上着陆后,遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量, 科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量. 已 知万有引力常量为 G. (1)简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重 力 F. (2)试利用测量数据(用符号表示)求月球的半径和质量.

第25讲 │ 要点探究

FT2 F3T4 变式题 (1)略 (2)R= M= m4π2 16Gm3π4 [解析] (1)利用弹簧秤测量物体 m 的重力 F ?2π? Mm t ? ?2R,T= (2)在月球*地表面有,G 2 =m T N R ? ? Mm 在月球表面有,G 2 =F R FT2 F3T4 则有 R= ,M= m4π2 16Gm3π4

第25讲 │ 要点探究
? 探究点六 万有引力的应用——第一宇宙速度的理解

(1)三层含义:卫星绕地球表面飞行的线速度、最大的环绕 速度、最小的发射速度. M (2)两种计算方法:v= G R =7.9 m/s, v= gR=7.9 m/s. (3)环绕速度与发射速度的比较 GM *地卫星的环绕速度 v= R = gR=7.9km/s,通常称 为第一宇宙速度,它是地球周围所有圆周运动卫星的最大 绕行速度,是在地面上发射卫昨星的最小发射速度.

第25讲 │ 要点探究

不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度 v= GM r ,其大小随半径的增大而减小.但是由于在人造地 球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功,所以将卫星 发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越 大.

第25讲 │ 要点探究
例 6 [2010· 东城模拟] 已知地球半径为 R,质量为 M,自 转角速度为 ω,地表重力加速度为 g,万有引力常量为 G, 地球同步卫星的运行速度为 v, 则第一宇宙速度的值不可表 示为( ) A. Rg v3 B. ωR R C. GM 4 D. GMg

第25讲 │ 要点探究

[解析] 设第一宇宙速度为 v1, 地球同 v2 Mm 1 步卫星的运行半径为 r,G 2 =mg=m R , GM= R Mm 4 2 gR ,∴v1= Rg= GMg, 选项 A、D 正确;G 2 R v2 v2 Mm 1 =m R , G 2 =m r ,∴v2R=v2r, 又 v=ωr,则 v1 1 r v2r v3 = = ωR,选项 B 正确;将 GM=gR2 代入选 R 项 C,可见第一宇宙速度的值不可表示为 C. 例6 C

第25讲 │ 要点探究

[2010· 南昌模拟] 一些星球由于某种原因而发生收缩, 假设 某星球的直径缩小到原来的四分之一,若收缩时质量不 变,则与收缩前相比( ) A.同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的 4 倍 B.星球表面重力加速度增大到原来的 4 倍 C.星球的第一宇宙速度增大到原来的 4 倍 D.星球的第一宇宙速度增大到原来的 2 倍

第25讲 │ 要点探究

变式题 D [解析] 本题考查万有引力定律的应 用.在星球表面,根据重力*似等于万有引力 mg= Mm G 2 ,可知直径缩小到原来的四分之一时,星球表面 R 的同一物体的重力与重力加速度均变为原来的 16 倍, v2 Mm A、B 错;根据 G 2 =m R ,可知第一宇宙速度增大 R 到原来的 2 倍,C 错,D 对.

第25讲 │ 要点探究

[点评] 星体表面的重力*似等于星体表面处的万有 Mm 引力,即 mg=G 2 ,gR2=GM,所以可以利用重力与 R 万有引力相等来解决星体表面的加速度问题.

第26讲 │ 人造卫星

宇宙速度

第26讲

人造卫星

宇宙速度

第26讲 │ 编读互动 编读互动
1.随着“嫦娥二号”卫星的成功发射,人造卫星及 宇宙速度的考查将成为万有引力及天体运动部分考查的 重中之重,由于现实中可用的材料非常多,试题具有广 泛的灵活性.命题形式一般为选择题,也可能是计算题. 2.本讲教学可以按以下思路安排: (1)通过例 1 和变式题要对人造卫星轨道运动的参数 更加明确. (2)通过例 2 对人造卫星的变轨问题进行深入的理解. (3)通过例 3 和变式题充分理解万有引力在现代科技 上的应用.

第26讲 │ 考点整合 考点整合
人造地球卫星(将卫星的运动视作匀速圆周运动 ) 1.动力学特征:由万有引力提供向心力,且轨道*面的圆心必与 地球的地心重合. v2 Mm 4π2 2 2.基本规律:G 2 =m r =mω r=m 2 r=ma. r T 3.重力加速度与向心加速度(不含随地球表面自转的向心加速度) 的关系 G F万 F向 (1)因 G≈F 万=F 向,故 g=m= m = m =a 向. R2 (2)ar=gr= 2 g(R 为地球半径,r 为轨道半径,g 为地球表面的重 r 力加速度).

第26讲 │ 考点整合
4.两种特殊卫星

地球半径 (1)*地卫星:沿半径约为________的轨道运行的地球卫星.其发射
速度与环绕速度相等,均等于第一宇宙速度. 静止 (2)同步卫星:运行时相对于地面________的地球卫星.同步卫星只 正上方 有一条运行轨道, 它一定位于赤道________________________________, 且距地面高度约为 h≈3.6×104 km,公转周期 T=24 h,运行时的速率 v≈3.1 km/s. 5.卫星系统中的超重和失重 超重 (1)卫星进入轨道前的加速过程中,卫星内的物体处于________状 态.

完全失重 (2)卫星进入圆形轨道正常运转时, 卫星内的物体处于________状态. 失重 (3)在回收卫星的过程中,卫星内的物体处于________状态.

第26讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点一 *地卫星与同步卫星

1.*地卫星 *地卫星轨道半径 r *似地等于地球半径 R, 其运动速度是 所有卫星的最大绕行速度; 运行周期T≈85 min 是所有卫星 的最小周期;向心加速度a=g=9.8 m/s2 是所有卫星的最大 加速度.

第26讲 │ 要点探究

2.地球轨道同步卫星地球轨道同步卫星是指在赤道*面内 以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星,地 球轨道同步卫星又叫通讯卫星.同步卫星有以下几个特点: ①周期一定;②角速度一定;③轨道一定;④环绕速度大 小一定;⑤向心加速度大小一定. 3.极地轨道卫星 极地轨道卫星指运行过程中通过两极上空的卫星,其轨道 *面与地球赤道*面垂直,由于地球自转,这种卫星并非 在某一经度线上方运动.该种卫星可对全球进行间断性扫 描.

第26讲 │ 要点探究

例 1 [2010· 西城模拟] 已知地球同步卫星的轨道半径是地 球半径的 k 倍,则( ) A.第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的 k 倍 B.第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的 k倍 C.地球表面附*的重力加速度是同步卫星向心加速度的 k 倍 D.地球表面附*的重力加速度是同步卫星向心加速度的 k 倍

第26讲 │ 要点探究

v Mm GM 例1 B [解析] 由 G 2 =m r ,得 v= r , r a地 v1 r Mm 故 = R= k,A 错、B 正确;由 G 2 =ma,得 r v同 a同 r2 = 2=k2,C、D 均错. R
2

第26讲 │ 要点探究

[2010· 烟台模拟] 我国在*两年将发射 10 颗左右的导航卫星,预 计在 2015 年建成由 30 多颗卫星组成的 “北斗二号”卫星导航定 位系统,此系统由中轨道、高轨道和同步轨道卫星等组成.现在 正在服役的“北斗一号”卫星定位系统的三颗卫星都定位在距地 面 36000 km 的地球同步轨道上.而美国的全球卫星定位系统(简 称 GPS)由 24 颗卫星组成, 这些卫星距地面的高度均为 20000 km. 则下列说法中正确的是( ) A.“北斗一号”系统中的三颗卫星的质量必须相等 B.GPS 的卫星比“北斗一号”的卫星周期短 C.“北斗二号”中的每颗卫星一定比“北斗一号”中的每颗卫星 的加速度大 D.“北斗二号”中的中轨道卫星的线速度小于高轨道卫星的线速 度

第26讲 │ 要点探究
变式题 1 B [解析] 卫星做圆周运动所需向心 力由万有引力提供,这两个力均与质量成正比,故做圆 周运动的条件与卫星质量无关,A 项错;由开普勒第三 定律可知, 轨道半径较大的“北斗一号”卫星周期比较 大,B 项正确;“北斗二号”系统中有的卫星轨道半径 大于同步轨道半径,有的等于同步轨道半径,故 C 项 Mm 错; 圆周运动中卫星所需向心力由万有引力提供, 2 G r v2 GM =m r ?v= r ,可见轨道半径越大,线速度越小, D 项错.

第26讲 │ 要点探究

[2011· 武昌模拟] 如图 26-1 甲所示,地球半径为 R,a 是地球赤 道上的一栋建筑,b 是与地心的距离为 nR 的地球同步卫星,c 是 在赤道*面内做匀速圆周运动、与地心距离为 0.5nR 的卫星.某 一时刻 b、c 刚好位于 a 的正上方(如图甲所示),经过 48 h,a、b、 c 的大致位置是图乙中的( )

第26讲 │ 要点探究

第26讲 │ 要点探究

变式题 2 C [解析] b 是同步卫星,因此 b 始终位于 a 的 正上方;c 的运行轨道比 b 低,轨道半径小,角速度大,周期小, ?nR?3 T2 T1 1 因而 c 比 b 运动得快, 根据开普勒定律, = 2, 故 =2 2, T2 ?0.5nR?3 T2 t 所以经过 t=48 小时(即 2T1),b 转动的圈数为 =2,c 转动的圈 T1 t 数为 =4 2≈5.7,故 c 转过了 5 圆半多,选 C. T2

第26讲 │ 要点探究
? 探究点二 自传与公转的区别与联系

地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与*地卫 星的圆心都在地心,而且二者做匀速圆周运动的半径均可 看作为地球的半径 R.二者有着非常显著的区别: (1)地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力 由万有引力的一个分力提供,而对于围绕地球表面做匀速 圆周运动的卫星,则万有引力全部充当向心力.

第26讲 │ 要点探究

(2)赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时, 由于其与地 球保持相对静止,因此它做圆周运动的周期应与地球自转的 4π2R 周期相同,即 24 h,其向心加速度 a 向= 2 ≈0.034 m/s2; T 而绕地球表面运行的*地卫星,其线速度即第一宇宙速度, Mm 4π2 R3 它的周期可以由 G 2 =m 2 R 求得 T=2π GM,代入地 R T 球的半径 R 与质量, 可求出地球*地卫星绕地球的运行周期 T 约为 85 min,此值远小于地球的自转周期,而向心加速度 GM a 向′= 2 =9.8 m/s2 远大于随地球自转物体的向心加速度. R

第26讲 │ 要点探究
例 2 如图 26-2 所示,地球赤道上的山丘 e,*地资源 卫星 p 和同步通信卫星 q 均在赤道*面上绕地心做匀速圆 周运动.设 e、p、q 的圆周运动速率分别为 v1、v2、v3, 向心加速度分别为 a1、a2、a3,则( ) A.v1>v2>v3 B.v1<v2<v3 C.a1>a2>a3 D.a1<a3<a2

第26讲 │ 要点探究

例 2 D [解析] v2、v3 均为卫星的运行速度,由 v2 Mm GM G 2 =m r 可得 v= r ,所以轨道半径越大,线速度 r 越小,故 v2>v3.q 是同步卫星,其角速度与 e 相等,所以由 Mm v=ωr 可知 v3>v1.因此 v2>v3>v1,A、B 均错.由 G 2 = r ma 可知,半径大的向心加速度小,故 a3<a2.根据 a=ω2r 可知 a1<a3.因此 a1<a3<a2,C 错,D 正确.

第26讲 │ 要点探究

[点评] 本题的关键是明确两类运动及关系式的选 择.实际上是在地面上的圆周运动和在空中的圆周运动是 两类不同的运动模型.放在地面上的物体随地球自转的向 心加速度是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供, 而环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提 供,因此对应的计算方法也不同.

第26讲 │ 要点探究

[2011· 南*模拟] 已知地球赤道上的物体随地球自转的线 速度大小为 v1、向心加速度大小为 a1,*地卫星线速度大 小为 v2、向心加速度大小为 a2,地球同步卫星线速度大小 为 v3、向心加速度大小为 a3.设*地卫星距地面高度不计, 同步卫星距地面高度约为地球半径的 6 倍.则以下结论正 确的是( ) v2 v2 1 6 A. = B. = v3 1 v3 7 a1 1 a1 49 C. = D. = a3 7 a3 1

第26讲 │ 要点探究

变式题 C [解析] 设地球自转的角速度为 ω, 为地球 R 的半径, 物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比, 角速 a1 1 2 度 ω1=ω3=ω,向心加速度 a=ω R∝R,所以 = ,C 正确, a3 7 D 错误. 绕地球表面附*做圆周运动的人造卫星和地球同步卫 v2 1 7 星相比,因为 v∝ ,所以 = ,A、B 错. v3 1 r

第26讲 │ 要点探究
? 探究点三 人造卫星的变轨问题

卫星在轨期间改变运行轨道的过程称为变轨. 从动力学角度分析——卫星由低空轨道变轨到高空轨道,需要火 箭点火,向着运动的反方向喷出气体使卫星加速,则卫星做圆周运动 所需的向心力增加,但是卫星受到的万有引力提供的向心力不变,因 此卫星将会做离心运动,其运行轨道将提升,速度将会减小.由于变 轨前后瞬间卫星(或探测器)到中心天体的距离不变,所受万有引力(合 外力)大小不变,所以变轨前后瞬间卫星虽属不同轨道,但其加速度不 变.

第26讲 │ 要点探究
从能量角度分析——人造卫星在变轨(由低轨道升至高 轨道)的过程中,重力势能增加值远远大于动能减少值.即 在变轨过程中, 发动机消耗的能量 E 主要是为了增加人造卫 星的重力势能.据能量守恒关系,有 E+ΔEk=ΔEp,也就是 说人造卫星调整到高轨道是以动能的损失和发动机消耗能 量为代价来增加其重力势能.

第26讲 │ 要点探究
例 3 [2011· 杭州模拟] 我国“嫦娥二号”探月卫星于 2010 年 10 月成功发射. 在“嫦娥二号”卫星奔月过程中, 在月球上空有一次变轨过程, 是由椭圆轨道 A 变为*月圆 形轨道 B, B 两轨道相切于 P 点, A、 如图 26-3 所示. 探 月卫星先后沿 A、B 轨道运动经过 P 点时,下列说法正确 的是( ) A.卫星运行的速度 vA=vB B.卫星受月球的引力 FA=FB C.卫星的加速度 aA>aB D.卫星的动能 EkA<EkB

第26讲 │ 要点探究

例3 B [解析] 卫星从 A 轨道到 B 轨道是*心运 动,所以有 vA>vB,EkA>EkB,而万有引力和加速度都是不 变的.

第26讲 │ 要点探究

[点评] 在处理变轨问题时,一定要分清圆周轨道与椭 圆轨道,弄清楚轨道切点上速度的关系,再根据机械能的 变化分析卫星的运动情况.

第26讲 │ 要点探究

我国研制的“嫦娥一号”卫星于 2007 年 10 月 24 日 18 时由长征 三号甲运载火箭发射升空,星箭分离后在远地点做了一次变轨,进入 到 16 小时轨道,然后分别在 16 小时、24 小时(停泊轨道)、48 小时(调 相轨道)轨道的轨道*地点各进行了一次变轨,其中在调相轨道*地点 变轨后,“嫦娥一号”卫星进入地月转移轨道正式奔月.下列说法中 正确的是( ) A.“嫦娥一号”由 24 小时轨道变为 48 小时轨道时应让其发动机 在 A 点点火向后喷气 B.“嫦娥一号”由 24 小时轨道变为 48 小时轨道时应让其发动机 在 B 点点火向后喷气 C.“嫦娥一号”沿 24 小时轨道在 B 点的速度大于沿 24 小时轨道 在 A 点的速度 D.“嫦娥一号”沿 48 小时轨道在 B 点的加速度大于沿 24 小时轨 道在 B 点的加速度

第26讲 │ 要点探究

第26讲 │ 要点探究

变式题 B [解析] “嫦娥一号”由 24 小时轨道变为 48 小时轨道应做离心运动,此时要增大速度,若选在 A 点点火, 这样会使卫星进入另一个与 A 点相切的椭圆轨道,而不会进 入预定的与 B 点相切的 48 小时轨道,因此要在 B 点点火,A 错,B 对;“嫦娥一号”沿 24 小时椭圆轨道运动时,B 点相 当于*地点而 A 点相当于远地点,根据机械能守恒可知 C GMm 错.根据公式 2 =ma 可知“嫦娥一号”沿 48 小时轨道在 R B 点的加速度等于沿 24 小时轨道在 B 点的加速度,故 D 错.

第26讲 │ 要点探究
? 探究点四 双星结构

第26讲 │ 要点探究

第26讲 │ 要点探究
例 4 [2010· 无锡模拟] 银河系恒星中大约有四分之一是双 星.如图 26-5 所示,某双星由质量不等的星球 A 和 B 组 成,两星球在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某 一定点 P 做匀速圆周运动.已知 A 和 B 的质量分别为 m1 和 m2,且 m1∶m2=2∶1,则( ) A.A、B 两星球的角速度之比为 2∶1 B.A、B 两星球的线速度之比为 2∶1 C.A、B 两星球运行的轨道半径之比为 1∶2 D.A、B 两星球的加速度之比为 2∶1

第26讲 │ 要点探究

例4 C [解析] A、 两星球的角速度之比为 1∶1, B A 错;设 A、B 到 P 点的距离分别为 r1、r2 , 由万有引力 m1m2 2 2 定律和牛顿第二定律可得 G 2=m1ω r1=m2ω r2∴ ?r1+r2? r1∶r2=m2∶m1=1∶2,选项 C 正确;由 v=ωr 得,A、 B 两星球的线速度之比为 1∶2,B 错;由 a=ω2r 得,加 速度之比为 1∶2,D 错.

第26讲 │ 要点探究
宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成 的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四 星系统中每个星体的质量均为 m,半径均为 R,四颗星稳定 分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上.已知引力常量为 G.关于四星系统,下列说法错误的是( ) A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 a B.四颗星的轨道半径均为 2 m C.四颗星表面的重力加速度均为 G 2 R 2a D.四颗星的周期均为 2πa ?4+ 2?Gm

第26讲 │ 要点探究
变式题 B [解析] 由星体均围绕正方形对角线的交 点做匀速圆周运动可知,星体做匀速圆周运动的轨道半径 r mm′ 2 = a;由万有引力的定律可知 G 2 =m′g,则星体表 2 R m 面的重力加速度 g=G 2;星体在其他三个星体的万有引力 R 作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动, 由万有引 Gm2 Gm2 2 4π2 力定律和向心力公式得:?? cos45?=m· a· 2 , ?2+2 ? a2 2 T ? 2a? 2a 解得周期 T=2πa . ?4+ 2?Gm

第26讲 │ 要点探究
? 探究点五 天体运动与现代科技

中子星和黑洞是宇宙中密度非常大的两类颇具神 秘感的天体.由于黑洞的密度极大而造成对周围物质吸 引力极大,大到连光都不能脱离其引力而自黑洞发射出 来,也谈不到黑洞反射光,所以不能通过肉眼或光学仪 器观测到.黑洞和其他可视天体可以构成各种形式的星 系,科学家也正是据此来间接观测和研究黑洞的.

第26讲 │ 要点探究

例 5 英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了 2008 年度世界 8 项科学之最, XTEJ1650—500 双星系统中发 在 现的最小黑洞位列其中,若某黑洞的半径 R 约为 45 km, M c2 质量 M 和半径 R 的关系满足 R = (其中 c 为光速,G 为 2G 引力常量),则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ) A.108 m/s2 B.1010 m/s2 C.1012 m/s2 D.1014 m/s2

第26讲 │ 要点探究

[解析] 可认为黑洞表面物体的重力等于 GMm GM M c2 万有引力,即 mg= 2 ,故 g= 2 ,将 R = 代入上 R R 2G 2 ?3×108?2 c 2 12 2 式得 g= = 3 m/s =1×10 m/s . 2R 2×45×10 C

例 3

第26讲 │ 要点探究

[点评] 黑洞是一种特别致密的暗天体,从可以说是 一种密度超大的星球,据猜测,他的第一宇宙速度达到 了光速,所以任何靠*它的物体都会被它吸进去,黑洞 就变得像真空吸尘器一样.

第26讲 │ 要点探究

我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿*似于圆形轨道绕月飞 行.为了获得月球表面全貌的信息,让卫星轨道*面缓慢变化, 卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质 量分别为 M 和 m,地球和月球的半径分别为 R 和 R1,月球绕地 球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1,月球绕地 球转动的周期为 T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道* 面与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因月球 遮挡而不能到达地球的时间(用 M、m、R、R1、r、r1 和 T 表示, 忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响).

第26讲 │ 要点探究

变式题

T π

R-R1 Mr3? R1? 1 ? ? mr3 ?arccos r -arccos r1 ?

第26讲 │ 要点探究

[解析] 如图所示, O 和 O′分别表示地球和月球的中心. 设 在 卫星轨道*面上,A 是地月连心线 OO′与地月球表面的公切线 ACD 的交点,D、C 和 B 分别是该公切线与地球表面、月球表面 和卫星轨道的交点,过 A 点在另一侧作地月球面的公切线,交卫 星轨道于 E 点.卫星在圆弧 BE 上运动时发出的信号被遮挡.

第26讲 │ 要点探究

设探月卫星的质量为 m0,万有引力常量为 G,根据万有引力定 ?2π? ?2π? Mm mm0 ? ?2 律有:G 2 =m? T ? r,G 2 =m0? T ?2r,式中 T1 表示探月卫星绕月 ? ? r r1 ? ? ? 1? 球转动的周期. ? ? M?r1?3 ?T1?2 由以上两式可知:? T ? = ? r ? m? ? ? ? ? ? 设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t,则由于卫星绕月球做匀速 t α-β 圆周运动,应有: = ,式中 α=∠CO′A,β=∠CO′B. T1 π 由几何关系得:rcosα=R-R1,r1cosβ=R1 R-R1 T Mr3 R1 1 联立各式解得:t= arccos -arccos π mr3 r r1




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